中考数学二轮培优专题精讲 第21讲 动态圆问题 (含详解)

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第20讲 动态圆问题
圆的动态问题一般都会涉及到相切问题，在某个情境下，相切的情况一般为某个临界情况，即最极端的情况，经常可用来解决范围与最值的问题.
【例题讲解】
例题1、如图，平面直角坐标系中，OA的圆心在x轴上，半径为1，直线l为y＝2x－2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与l有公共点时，点A移动的最大距离是 .

答案：.
例题2、如图，在平面直角坐标系中，直线l:y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b＝ 时，直线l与⊙M相切.

答案：10±2.
例题3、如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为l.若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 .

答案：2＋.


【巩固练习】
1、如图，直线l:y＝－x＋1与坐标轴交于AB两点，点M（m，0）是x轴上一动点，一点M为圆心，2个单位长度为半径作OM，当OM与直线l相切时，m的值为 .

2、如图，⊙0的半径为3cm，B为⊙0外一点，OB交⊙0于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙0上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止，当动点P运动的时间为 s时，BP与⊙0相切。

3、如图，已知⊙0是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与0A平行的直线与⊙0有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 .

4、如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上的一动点（不与A、B重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙0上运动时，下列说法正确的是（ ）
A.点P的位置始终随点C的运动而变化 B.点P的位置无法确定
C.PA＝OA D.OP⊥AB

5、如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，0102垂直AB与P点，0102＝8.若将⊙01绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙01与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A.3次 B.5次 C.6次 D.7次

6、如图，△AOB中，∠0＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.

7、如图，已知⊙0的半径为6cm，射线PM经过点0，OP＝10cm，射线PN与⊙0相切于点Q，A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为ts.
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙0相切？







8、如图，已知直线l:y＝2x＋3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。
（1）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出OP，是OP经过点B，且与x轴相切于点F
（不写作法，保留作图痕迹）
（2）设（2）中所作的OP的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式.
（3）是否存在这样的OP，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.








9、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）.特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0.
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙0）＝ ，d（B，⊙0）＝ .
②已知直线l:y＝x＋b与⊙0的密距d(1，⊙0）＝9，求b的值.
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y＝－x＋与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜.请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围.


























10、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°.点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时，P、Q都停止运动。设点P运动的时间为ts.
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，OP与边BC分别有1个公共点和2个公共点？







11、如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.
发现 弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，求l；
思考 点M与AB的最大距离为 ，此时点P，A间的距离为 ；点M与AB的最小距离为 ，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 .
探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.
（注：结果保留π，cos35°＝ ，cos55°＝ ）

图1 备用图








12、如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO＝30°，点P从点Q（－4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒.
（1）求点E的坐标；
（2）当△PAE是等腰三角形时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当OP与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值.











13、已知直线y＝－x＋m与x轴，y轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）
（1）求m的值和点A的坐标；
（2）在矩形OACB中，某动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线B－C－A运动.运动至点A停止.直线PD⊥AB于点D，与x轴交于点E.设在矩形OACB中直线PD未扫过的面积为S，运动时间为t.
①求s与t的函数关系式；
②⊙Q是△0AB的内切圆，问：t为何值时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4？










14、如图，二次函数y＝－x2＋m的图像经过点A（1，），直线l经过抛物线的顶点B且与y轴垂直.设抛物线上有一动点P（a，b）从点A处出发沿抛物线向上移动，其纵坐标b随时间t（s）的变化关系为b＝2t－.以线段OP为直径作⊙C.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）当点P在起始位置点A处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P移动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由.
（3）若点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，移动速度为每秒3个单位长度，则当t在什么范围内变化时，直线1与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值.

备用图




15、如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AB＝20，AC＝32.点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段AC向点C运动，同时，点Q从点O出发，以每秒3个单位的速度沿折线OD－DC向点C运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动.连接BP、PQ、BQ，设点Q的运动时间为t秒.
（1）求线段OD的长；
（2）在整个运动过程中，△BPQ能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；
若不能，请说明理由；
（3）以P为圆心，PQ为半径作⊙P，当⊙P与线段CD只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围.

备用图

1. 答案：2±2.
2. 答案：1或5.
3. 答案：－≤x≤.
4. 答案：D.
5. 答案：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O于M，
∴PM＝8－3－1＝4，
圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，
∴根据图形得出有5次．
故选B．
6. 答案：.
7. 答案：（1）连接OQ，PN与⊙O相切于点Q，.OQ⊥PN，即∠OQP＝90°，∵OP＝10，OQ＝6，∴PQ＝＝8（cm）.
（2）过点0作OC⊥AB，垂足为C，∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，∴PA＝5t，PB＝4t，∴PO＝10，PQ＝8，PA:PO＝PB:PQ,∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°， ∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，四边形OCBQ为矩形.∴BQ＝OC.∴⊙O的半径为6，∴BQ＝OC＝6时，直线AB与⊙0相切.
①∵BQ＝PQ－PB＝8－4t，∵BQ＝6，∴8－4t＝6，∴t＝0.5（s）.②∵BQ＝PB－PQ＝4t－8，∵BQ＝6，∴4t－8＝6，∴t＝3.5（s）.∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙0相切.


8. 答案：（1）如图：

（2）过点P作PD⊥y轴于D，则PD＝|x|，BD＝|3－y|，PB＝PF＝y，∵△BDP为直角三角形，∴BP2＝PD2＋BD2，即|y|2＝|x|2＋|3－y|²，y2＝x2＋（3－y）2，∴y与的函数关系为y＝x2＋；
（3）存在.∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，∴AB＝AF，∵AB2＝OA2＋OB2＝52，∴AF2＝52，∵AF＝|x＋4|，∴（x＋4）2＝52，∴x＝1或x＝－9，把x＝1或x＝－9代入y＝x2＋，得y＝或y＝15，∴点P的坐标为（1，）或（－9，15）.


9. 答案：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）＝2﹣1＝1．
∵B（4，3），
∴OB＝＝5，
∴d（B，⊙O）＝5﹣2＝3．
故答案为1，3；
②设直线l：y＝x＋b与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
∴OP＝|b|，OQ＝|b|，
∴PQ＝|b|．
∵S△OPQ＝OP•OQ＝PQ•OH，
∴OH＝＝|b|．
∵直线l：y＝x＋b与⊙O的密距d（1，⊙O）＝，
∴|b|＝2＋＝，
∴b＝±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，
∵点D、E分别是直线y＝﹣x＋与x轴、y轴的交点，
∴D（4，0），E（0，），
∴OD＝4，OE＝，
∴tan∠ODE＝，
∴∠ODE＝30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵xC＝m，
∴CD＝4﹣m，
∴CN＝CD•sin∠CDN＝（4﹣m）＝2﹣m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴0＜2﹣m＜＋1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m＝4．
此时d（DE，⊙C）＝0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴m﹣4＜＋1，
∴m＜
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．


10. 答案：：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，
又∵∠DAB＝60°（已知），
∴∠BAC＝∠BCA＝30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC?BD，OA＝AC，
∴OB＝AB＝1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA＝，AC＝2OA＝2，
运动ts后，AP＝t，AQ＝t，∴
又∵∠PAQ＝∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ＝∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，
则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM＝30°，
∴PM＝PC＝，由PM＝PQ＝AQ＝t，即＝t,
解得t＝4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ＝PB，
∵∠PQB＝∠PAQ＋∠APQ＝60°
∴△PQB为等边三角形，
∴QB＝PQ＝AQ＝t，
∴t＝1
∴当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC＝PQ，即2－t＝t，
∴t＝3﹣．∴当1≤t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t＝2时，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t＝4﹣6或1＜t≤3﹣或t＝2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．


11. 【解答】解：发现：如图1，连接OP、OQ，
∵AB＝4，
∴OP＝OQ＝2，
∵PQ＝2，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠POQ＝60°，
∴＝＝π，
又∵半圆O的长为：π×4＝2π，
∴+＝2π﹣π＝π，
∴l＝π；

思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，
连接OM，
∵OP＝2，PM＝1，
∴由勾股定理可知：OM＝，
当C与O重合时，
M与AB的距离最大，最大值为 ，
连接AP，
此时，OM⊥AB，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴AP＝2，

如图3，当Q与B重合时，
连接DM，
∵∠MOQ＝30°，
∴MC＝OM＝，
此时，M与AB的距离最小，最小值为 ，
设此时半圆M与AB交于点D，
DM＝MB＝1，
∵∠ABP＝60°，
∴△DMB是等边三角形，
∴∠DMB＝60°，
∴扇形DMB的面积为：＝，
△DMB的面积为：MC•DB＝××1＝，
∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为：﹣；
故答案为，2，，﹣；

探究：当半圆M与AB相切于T时，此时，MT＝1，
如图4，当点C在线段OA上时，
在Rt△OTM中，由勾股定理可求得：OT＝＝，
∴AT＝OA﹣OT＝2﹣
如图5中，当点T在线段OB上时，AT＝2+．
综上所述，AT的值为2±．








12. 【解答】解：（1）∵A（0，3），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∵∠AEO＝30°，
∴OE＝OA＝3，
∴点E的坐标为（，0）．

（2）如图1中，

当EA＝EP时，EP1＝EA＝EP2＝6，此时t＝3﹣2或3+10，
当PA＝PE时，设P3E＝P3E＝x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2＝x2，
∴x＝，此时t＝4+
当AE＝AP时，点P在点Q左边，不符合题意．
综上所述，当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3﹣2）s或（3）s或（4+）s．

（3）由题意知，若⊙P与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况：
①如图2中，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，

∵∠AEO＝30°，AO＝3，
∴∠APO＝60°，
∴OP＝，
∴QP＝QO﹣PO＝4﹣，
∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t＝4﹣（秒）．
②如图3中，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，

∵QO＝4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t＝4（秒），
③如图4中，当⊙P与BC相切时，

由题意，PA2＝PB2＝（10﹣t）2，PO2＝（t﹣4）2．
于是（10﹣t）2＝（t﹣4）2+32．
解得t＝（秒），
综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4﹣）秒或4秒或秒．


13. 【解答】解：（1）把（0，6）代入
得：m＝6，
则函数的解析式是：y＝﹣x+6，
令y＝0，则﹣x+6＝0，
解得：x＝8．
则A的坐标是（8，0）；

（2）①如图1，当PE正好经过点O时，
∵AB⊥MO，
∴∠OBD+∠BOM＝90°，
∵∠OBD+∠MBD＝90°，
∴∠MBD＝∠BOM，
∵∠MBD＝∠BAO，
∠OBM＝∠BOA，
∴△MBO∽△BOA，
∴＝，
则BM＝•OB＝×6＝，
四边形OACB的面积是：6×8＝48，
当0＜t≤时，BP＝t，则BE＝t＝t，
则s＝S四边形OACB﹣S△BPE＝48﹣t•t＝48﹣t2；
当＜t≤8时，BP＝t，PC＝8﹣t，
OE＝t﹣，
∴AE＝8﹣OE＝8﹣（t﹣）＝﹣t，
则s＝[（8﹣t）+（﹣t）]•6＝﹣6t；
当8＜t≤14时，AP＝14﹣t，PE＝（146﹣t），
s＝×（14﹣t）2＝（14﹣t）2；

②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r，
∴S△OAB＝（6+8+10）r＝×6×8，
解得r＝2，
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H，
可知，OF＝2，
∴BF＝BG＝OB﹣OF＝6﹣2＝4，
如图2，设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连接IQ、QG，
∵QI＝2，IM＝IJ＝1.2，
∴QM＝＝1.6，
∴在矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6，
∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，
由cos∠CBA＝＝，
得BP＝BD＝7，
∴t＝7，
当PE在圆心Q的另一侧时，P′E′∥PE，
∵直线y＝﹣x+6与P′E′垂直，
∴＝，
∵BF＝4，
∴BP′＝3，则t＝3，
综上，t为7或3秒时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4．






14. 【解答】解：（1）将点A（1，﹣）代入y＝x2+m中，得：
m＝﹣1，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣1；

（2）结论：直线l与⊙C始终保持相切．
理由：将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：
a2﹣1＝﹣+2t，a＝，
∴P（ ，﹣+2t），
∴圆心C（ ，﹣+t），
∴点C到直线l的距离：﹣+t﹣（﹣1）＝t+；
而OP2＝8t+1+（﹣+2t）2，得OP＝2t+，半径OC＝t+；
∴直线l与⊙C始终保持相切．

（3）①由（1）可知，若直线l与⊙C相切，则：2t﹣＝t+，t＝；
∴当0＜t＜时，直线l与⊙C相交；
②∵0＜t＜时，圆心C到直线l的距离为d＝|2t﹣|，又半径为r＝t+，
∴a2＝4（r2﹣d2）＝4[（t+）2﹣|2t﹣|2]＝﹣12t2+15t，
∴t＝时，a的平方取得最大值为 ．



15. 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB，AO＝CO，
∵AC＝32，
∴AO＝AC＝×32＝16，
在RT△AOD中，∵AD＝AB＝20，AO＝16，
∴OD＝＝＝12．
（2）能．理由如下：
如图1，当0＜t＜4时，∠BPQ＝90°，
∵∠BPO+∠OPQ＝90°，∠OPQ+∠PQO＝90°，
∴∠BPO＝∠PQO，
∵∠POB＝∠POQ＝90°，
∴△POB∽△QOP，
∴，
∴，
t＝或（不合题意舍弃）
∴t＝．
如图2，当4＜t＜8时，∠BPQ＝90°，作QH⊥AC垂足为H，
∵QH∥OD，
∴，
∴，
QH＝（32﹣3t），CH＝（32﹣3t），HP＝t﹣，OP＝4t﹣16，
∵∠QPH+∠BPO＝90°，∠OBP+∠BPO＝90°，
∴∠OBP＝∠HPQ，
∵∠BOP＝∠QHP＝90°，
∴△QHP∽△POB，
∴，
∴，
解得t＝或（不合题意舍弃）
综上所述t＝或时△PQB是直角三角形．
（3）①如图3，当点P在线段OA上时，⊙P与线段CD相切于M，连接OM，此时⊙P与线段CD只有一个交点，
在RT△POQ中，∵PO＝16﹣4t，OQ＝3t，
∴PQ＝PM＝，
∵∠PMC＝∠DOC＝90°，∠PCM＝∠DCO，
∴△CPM∽△CDO，
∴，
∴，解得t＝或（不合题意舍弃）．
②如图4，当PC＝PQ时，作PN⊥CD垂足为N，
∵∠PCN＝∠DCO，∠PNC＝∠DOC＝90°，
∴△CPN∽△CDO，
∴，
∴，解得t＝．
∴＜t≤8时⊙P与线段CD只有一个交点．
综上所述t＝或时⊙P与线段CD只有一个交点．