中考数学二轮培优专题精讲 第25讲 轨迹问题之其他轨迹 (含详解)

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例题1.如图,点A在反比例函数y= SKIPIF 1 < 0 (x<0)的图象上,点B在反比例函数y= SKIPIF 1 < 0 (k>0)的图象上，且∠AOB=90°,∠A=30°,则k的值为 .
【分析】当点A在反比例函数上运动时，本题直接给出了点B也在反比例函数上运动，遇见直角顶点在一条线上，自然想到一线三等角构造相似.
【解析】过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D,易证△ACO∽△ODB.
∵∠A=30°, ∴ SKIPIF 1 < 0
∴△ACO与△ODB的相似比为 SKIPIF 1 < 0 ：1
. ∴△ACO与△ODB的面积比为3：1
∵S△ACO＝ SKIPIF 1 < 0 ×6＝3
∴S△ODB＝1,k=2
例题2.如图,已知点A是双曲线y= SKIPIF 1 < 0 在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限.随着点A的运动,点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= SKIPIF 1 < 0 (k<0)上运动，则k的值是 .
【分析】这题也直接说明了点C在反比例函数上运动,由于反比例函数关于原点中心对称，
所以OA=OB，所以当我们把OC连起来后，就会发现，和例题1基本是一样的
【解析】解：“双曲线y= SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称.∴OA=OB.
连接OC，如图所示.
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB.∠BAC=60°.
∴tan∠OAC＝ SKIPIF 1 < 0 .∴OC= SKIPIF 1 < 0 OA.
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA.
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=60°－∠FOC=∠OCF.
∴△AEO∽△OFC.且相似比为1： SKIPIF 1 < 0
∴△AEO与△OFC的面积比为1：3
∵S△AEO＝ SKIPIF 1 < 0 ×2＝1
∴S△OFC＝3,且反比例在二、四象限
∴k=－6
例题3.如图,⊙P在第一象限,半径为3.动点A沿着OP运动一周,在点A运动的同时,作点A关于原点O的对称点B,再以AB为边作等边三角形△ABC,点C在第二象限,点C随点A运动所形成的图形的面积为( )

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【分析】根据前面几题的铺垫,我们可知主动点(A)形成的图形与从动点(C)形成的图形是相似的,所以点C形成的图形也是一个圆。
【解析】解:如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC= SKIPIF 1 < 0 OA，OC= SKIPIF 1 < 0 OA'，
∴CC'=OC'－OC= SKIPIF 1 < 0 (OA'－OA)= SKIPIF 1 < 0 AA'=6 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C随点A运动所形成的圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ×(3 SKIPIF 1 < 0 )2＝ SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
【巩固训练】
1.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1= SKIPIF 1 < 0 的图象经过点A,反比例函数y2= SKIPIF 1 < 0 的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是( )
A.m=－3n B.m= SKIPIF 1 < 0 n C.m= SKIPIF 1 < 0 n D.m= SKIPIF 1 < 0 n
2.如图,△ABC在第一象限,其面积为16.点P从点A出发,沿△ABC的边从A—B—C—A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM,点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为 .
参考答案
答案：A
答案：48