中考数学二轮培优专题精讲 第28讲 存在性问题之平行四边形 (含详解)

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①对边平行且相等构造全等；
②对角线互相平分利用中点公式.
【例题讲解】
例题1.如图,一次函数y= SKIPIF 1 < 0 x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=－x2+bx+c过A、B两地，
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
解:(1)∵y= SKIPIF 1 < 0 x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0),
将x=0,y=2代y=－x2+bx+c得c=2.
将x=4,y=0代y=－x2+bx+c得0=－16+4b+2,解得b＝ SKIPIF 1 < 0 .
∴抛物线解析式为:y=－x2+ SKIPIF 1 < 0 x+2;
(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),BE=4－t,tan∠ABO= SKIPIF 1 < 0 ,
ME=BE·tan∠ABO=(4－t)× SKIPIF 1 < 0 ==2－ SKIPIF 1 < 0 t
又N点在抛物线上,且xN=t,yN=－t2+ SKIPIF 1 < 0 t+2
MN=yN－ME=－t2+ SKIPIF 1 < 0 t+2－(2－ SKIPIF 1 < 0 t)=－t2+4t
当t=2时,MN有最大值4.
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5)
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示：
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a－1| =4,解得a1=6,a2=－2,
从而D为(0,6)或D(0,－2),
(i i)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y= SKIPIF 1 < 0 x+6,D2M的方程为y= SKIPIF 1 < 0 x－2
由两方程联立解得D为(4,4)
故所求的D点坐标为(0,6),(0,－2)或(4,4).
【单动点】
例题2.在直角坐标系中，已知A(－2,4),B(2,2),C(1,－1),当A、B、C、D四点组成的四边形为平行四边形时,求点D的坐标.
【分析】我们知道,平行四边形的对角线互相平分,所以我们可以利用这个性质几何中点公式来解决这类问题.
中点公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ).
【解析】如下图,当BD与AC为对角线时,BD与AC互相平分,所以AB的中点即为BD的中点,根据A、C坐标可计算出M点的坐标为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),再根据BD的中点也为M( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，即可算出D1(－3,1)，同理可计算出D2(－1,7),D3(5,－3).
【总结】我们可以把过程再简单化一点,我们发现,在算D1时,利用中点公式均需要除2,所以为了方便快捷,直接省略这一步,所以就是A点、C点的横坐标相加=B点、D1点的横坐标相加(即xA+xC=xB+xD1),记住这个方法，连图都不用画了！
【双动点】
例题3.在直角坐标系中,已知有一条直线y= SKIPIF 1 < 0 x+3,A(0,1),B(1,0),在直线上y= SKIPIF 1 < 0 x+3找一点C,x轴上有一点D,当以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时,求点D的坐标.
【分析】本题中有两个不确定的点,点C和点D,根据上一例题,我们只需将双动点转化为单动点,这个问题就可以解决了.
【解析】设C(m,－m+3),根据上一例题讲述的中点法,即可把三个点D都用m表示出来,分别为D1(1－m, SKIPIF 1 < 0 m－2），D2(m－1, SKIPIF 1 < 0 m+4),D3(m+l, SKIPIF 1 < 0 m+2),因为点D在x轴上，所以纵坐标为0，即可算出m.
【巩固训练】
1.如图,已知△ABC的三个顶点坐标为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0).
(1)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A'的坐标 ；
(2)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 .
2.如图,已知抛物线y=x2－4x+3与x轴交于A、B,顶点为C.
(1)对于任意实数m,点M(m,－2)是否在该抛物线上？请说明理由；
(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知点D在x轴上,那么抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,且A点坐标为(－3,0),经过B点的直线交抛物线于点D(－2,－3).
(1)求抛物线的函数关系式和直线BD的函数关系式；
(2) 过x轴上的点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF是平行四边形？如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由。
4.如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A、B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D(2,3).
(1)求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
(2)过x轴上的点E(a,0)作直线EF∥AD,交抛物线于点F,是否存在实数a,使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1.解:D(－5,－3)或(－7,3)或(3,3).
2.解: (1)假设存在,则将M点的坐标代入抛物线得:－2=m2－4m+3,化简得方程:m2－4m+5=0,因为△=(－4)2－4×5=－4