中考数学二轮培优专题精讲 第30讲 几何三大变换之翻折 (含详解)

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第30讲 几何三大变换之翻折翻折的性质（轴对称的性质）如图，将△ABC沿着DE翻折，使得点A落在BC的点F处结论有：①（即AD=DF，AE=EF，∠A=∠DFE，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED）②DE垂直平分AF 函数的对称变换①一次函数关于x轴对称后的解析式：关于y轴对称后的解析式：②二次函数关于x轴对称后的解析式：关于y轴对称后的解析式：【例题讲解】例题1.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是______解：如图，连接、，，为的平分线，，又，，是的垂直平分线，，，，为的平分线，，，，点在的垂直平分线上，又是的垂直平分线，点是的外心，，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，，，在中，，故选：． 例题2.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为与边AD、BC交于点F、H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G.（1）尺规作图作出折痕FH；（2）求折痕FH的长；（3）求△EBG的周长；（4）若将题目中的“点E为AB中点”改为“点E为AB上任意一点”，其它条件不变，则△EBG的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.例题3、如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　   　．解：四边形是矩形，，，，由折叠的性质可知，，，，在和中，，，，，，设，则，，，，根据勾股定理得：，即，解得：，，故答案为：4.8．
例题4.如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点与点重合，如图2，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点重合，如图3，点落到处，折痕为，连接，则________．解：如图2中，作于．设，则，，，，在中，，，解得，，，，，，，，，，，，，如图3中，，，，，，，，．方法二，．故答案为．   例5.如图，已知的三个顶点、、，，作关于直线的对称图形（1）若，试求四边形面积的最大值；（2）若点恰好落在轴上，试求的值．解：（1）如图1，与四边形关于直线对称，四边形是平行四边形，，，，，四边形、是平行四边形，，．、、、，，，，．，当时，最大值为9； （2）当点恰好落在轴上，如图2，，，，，．，△，，，．由轴对称的性质可得．在中，，整理得．，，．    例题6.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴的正半轴上，为边的中点，一抛物线经过点、（1）求点、的坐标（用含的式子表示）；（2）把沿直线折叠后点落在点处，连接并延长与线段的延长线交于点，①若抛物线经过点，求抛物线的解析式；②若抛物线与线段相交，直接写出抛物线的顶点到达最高位置时的坐标：解：（1）当时，，，当时，或；（2）①如图，设与轴交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠后点落在点处，△，，，，，矩形中，，，，．设，则，在△中，，，解得，，，，点坐标为，，易求直线的解析式为，当时，，点坐标为．代入得（舍，，抛物线的解析式为：．②当时，，即抛物线与直线的交点为，抛物线与线段相交，，，解得：，，当时，有最大值，又，当时，随的增大而增大，当时，顶点到达最高位置，，抛物线顶点到达最高位置时的坐标为，．        【巩固练习】1、如图，在矩形中，点为边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的值为________. 2.如图，先将一平行四边形纸片沿，折叠，使点，，在同一直线上，再将折叠的纸片沿折叠，使落在上，则　　度． 3、点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的最小值为_____________。4.如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为　　（用含的代数式表示）．    5、在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．第一小组的同学将矩形纸片按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕（如图；再沿折叠，使点落在上的点处（如图，请求出的度数．    6.如图，在中，，，点是的中点，将沿着直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为　　．  7、如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的解析式为　　．  8.如图①，点为一等腰直角三角形纸片的斜边的中点，是边上的一点，将这张纸片沿折成如图②，使与边相交于点，若图①中，则图②中的周长为　　． 9.如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为　　．10.已知中，，，，是边上一点，交于点，将沿翻折得到△，若△是直角三角形，则长为_________． 11.如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为________ 12、如图，中，，，，点是的中点， 将沿翻折得到，连，则线段的长等于_____ 13.如图所示，四边形是矩形，点、的坐标分别为，，点是线段上的动点（与端点、不重合），过点作直线交折线于点．（1）记的面积为，求与的函数关系式；（2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．      14.如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线与此图象有两个公共点时，求的取值范围________． 15.如图1，在矩形中，，，点是边上的一个动点（不与点、点重合），点在边上，将和分别沿、折叠，使点与点重合，点与点重合，且、、三点共线．（1）若点平分线段，则此时的长为多少？（2）若线段与线段所在的平行直线之间的距离为2，则此时的长为多少？（3）在“线段”、“线段”、“点”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
16．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线对折，得到．（1）当平分时，求的长；（2）连接，当时，求的面积；（3）当射线交线段于点时，求的最大值．  17．如图1，已知矩形纸片中，，若将该纸片沿着过点的直线折叠（折痕为，点恰好落在边的中点处．（1）求矩形的边的长．（2）若为边上的一个动点，折叠纸片，使得与重合，折痕为，其中在边上，在边上，如图2所示．设 ， ，试求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）①当折痕的端点在上时，求当为等腰三角形时的值；②当折痕的端点在上时，设折叠后重叠部分的面积为，试求与之间的函数关系式．
18．如图， 已知矩形中，，，动点从点出发， 在边上以每秒 1 个单位的速度向点运动， 连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．（1） 若，求当，，三点在同一直线上时对应的的值 ．（2） 已知满足： 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，求所有这样的的取值范围 ．    19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，翻折矩形，使点与点重合，得到折痕，设点的对应点为，折痕所在直线与轴相交于点，经过点，，的抛物线为．（1）求点的坐标（用含的式子表示）；（2）若点的坐标为，求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设线段的中点为，在线段上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参看答案1.解：根据题意可得：在中：，，则，又，，，故．故答案为：．  2.解：根据沿直线折叠的特点，△，△，，，，，点，，在同一直线上，，将折叠的纸片沿折叠，使落在上，，故答案为：45．  3.  4.解：，，、△都为、、 的三角形，，，，，，．故答案为：．   5.解：如图2，连接，由题意得垂直平分，故，由翻折可得，，△为等边三角形，，，；  6.解：是翻折而成，，，是等腰直角三角形，，由三角形外角性质得，，设，，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得，，故答案为：  7.解：法一：当时，，即，当时，，即，所以，即，因为点与关于对称，所以的中点为，，即在直线上，设直线的解析式为，把；，代入可得．法二：直线与轴，轴分别交于点和，，设，则，又直线的解析式为故答案为．  8.解：如图，作于，于，于，连接．，，，，，．，，，，在和中，，，，的周长，，，（解法二：连接，只要证明，即可推出的周长故答案为．  9.解：如图1所示：当时，过点作，则．当时，．由，，得．由翻折的性质，得．，，，当时，则（易知点在上且不与点、重合）．如图2所示：当时，，，点、在的垂直平分线上，垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去．综上所述，的长为16或．故答案为：16或．   10.解：在中，，，，，，，即，设，则，，，在△中，，△是直角三角形，①当落在边上时，，，，；②点在线段的延长线上，解得（不合题意舍去），．故长为或．故答案为：或．   11.解：中，，，，，根据折叠的性质可知，，，，，，，△，，，  12.解： 如图连接交于，作于．在中，，，，，，，，，点在的垂直平分线上 ．，点在的垂直平分线上，是直角三角形，垂直平分线段，，，，在中，，  13.解：（1）四边形是矩形，点、的坐标分别为，，，若直线经过点时，则若直线经过点时，则若直线经过点时，则①若直线与折线的交点在上时，即，如图1，此时；②若直线与折线的交点在上时，即，如图2此时，，，； （2）如图3，设与相交于点，与相交于点，则矩形与矩形的重叠部分的面积即为四边形的面积．由题意知，，，四边形为平行四边形根据轴对称知，又，，，平行四边形为菱形．过点作，垂足为，设菱形的边长为，由题意知，，，，，，则在中，由勾股定理知：，，．矩形与矩形的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．   14.. 解：二次函数与轴的交点坐标为，、，，当直线与有一个公共点时，，△，解得，所以当时，直线与此图象有两个公共点时，当直线经过点，与点，之间时，直线与此图象有两个公共点时，解得，所以的取值范围为或．故答案为或．   15.解：（1）由和分别沿、折叠，得到和，则，，，，．，．，，．，．四边形是矩形，，，，在和中，，，，，． （2）由题意，得或．当时，，，．，，，．当时，，，．，．．故的长为1或3． （3）①若与点在同一直线上，如图2，连接，点在上，在和中，，，．设，则，在中，，，，．解得．②若与在同一直线上，如图3，，，，，．   16.【解答】解：（1）由折叠性质得：，，平分，，，四边形是矩形，，，；（2）延长交延长线于点，如图1所示：四边形是矩形，，，由折叠性质得：，，，，，，设，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，，，，，；（3）过点作于点，如图2所示：四边形是矩形，，，，，，，，可以看到点是在以为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线与圆相切时，最大，此时、、三点共线，如图3所示：由折叠性质得：，，，在和中，，，，由勾股定理得：，，的最大值．   17.【解答】解：（1）根据题意得：，四边形是矩形，，，，为的中点，，根据勾股定理得：，；（2）根据题意得：，在中，，．，其中，；（3）①当点在上，，，而，．为等腰三角形，只可能；过点作于，如图3所示：则，，在中，．．解得：．②当点在上时，在上；如图4所示：根据题意得：垂直平分，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，折叠后重叠部分的面积的面积，设，在中，，．解得：，．  18.【解答】解： （1） 如图 1 中， 设． 则．、、共线，，，，，，在中，，，或（舍 弃） ，，时，、、共线 ．（2） 如图 2 中， 当点与重合时， 点在的下方， 点到的距离为 3 ．作于，于． 则，易证四边形是矩形，，，，，，，，，， （当时， 直线上方还有一个点满足条件， 见图如图 3 中， 当点与重合时， 点在的上方， 点到的距离为 3 ．作于，延长交于． 则，在中，，由，，，，综上所述， 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，这样的的取值范围．  19.【解答】解：（1）根据折叠的性质得：，，，，，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：，点的坐标为：，；（2）方法一：四边形是矩形，，，，，，，，，，，即，解得：，，，，作于，如图1所示：则，，，，即，，，，，，把点，，，，代入得：，解得：，，，抛物线的解析式为：；（3）存在；点的坐标为：，，或，；理由如下：如图2所示：，，，线段的中点为，，，点与点重合，点的坐标为：，；由抛物线的对称性得另一点的坐标为，；在线段上方的抛物线上存在点，使，点的坐标为：，，或，．