重庆市巴蜀中学校2022-2023学年八年级数学下学期定时练习一试题（含详细答案）

这是一份重庆市巴蜀中学校2022-2023学年八年级数学下学期定时练习一试题（含详细答案），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市巴蜀中学校2022-2023学年八年级数学下学期定时练习一试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B． C． D．
2．估算 的值应在 （   ）
A．2 到 3 之间 B．3 到 4 之间
C．4 到 5 之间 D．5 到 6 之间
3．在 “双减政策” 的推动下， 我校学生课后作业时长有了明显的减少． 2021 年第三季度平均每周作业时长为 630 分钟， 经过 2021 年第四季度和 2022 年第一季度两次整改后， 现䢎平均每周作业时长为 450 分钟，设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为 ， 则可列方程为 （    ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（　　）
A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm
6．已知菱形较大的角是较小角的3倍，并且高为4cm，则这个菱形的面积是（      ）
A． B． C． D．
7．下列命题为真命题的是（   ）
A．菱形的四个角相等
B．菱形的对角线相等
C．菱形的四条边互相垂直
D．菱形既是轴对称图形， 也是中心对称图形
8．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是　　

A．
B．
C．
D．
9．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连结，则△的周长为（　　 ）

A． B． C． D．
11．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若关于 的不等式组 至少有 2 个整数解， 且关于 的分式方程 的解是非负数， 则符合条件的所有整数 的值的和为（   ）
A．14 B．18
C．26 D．29

二、填空题
13．计算： __________．
14．不透明布袋中装有除颜色外其它均相同的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从中随机摸出一个球， 记下颜色， 然后放回搅匀， 再随机摸出一个球， 则前后两次摸出的球都是白球的概率是___________．
15．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，不解方程可求得x12+x22＝_____．
16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交 AD于点E，则AE的长是_____．

17．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A/处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA重合，折痕为BD，若∠ABC=58°，则求∠E′BD的度数是____________ ．

18．如图，在中，，，，是上一点，于点，于点，连接，则的最小值为___________．


三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．解下列方程
(1)；
(2)．
21．先化简，再从-1，0，1，2中选取一个你喜欢的x的值代入求值．
22．在6.26国际禁毒日到来之际，重庆市教委为了普及禁毒知识，提高禁毒意识，举办了“关爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛，某校初一、初二年级分别有300人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
初一
68
88
100
100
79
94
89
85
100
88
100
90
98
97
77
94
96
100
92
67
初二
69
97
91
69
98
100
99
100
90
100
99
89
97
100
99
94
79
99
98
79

(1)根据上述数据，将下列表格补充完成．
【整理、描述数据】：
分数段




初一人数
2
___________
___________
12
初二人数
2
2
1
15

【分析数据】：样本数据的平均数、中位数、满分率如表：
年级
平均数
中位数
满分数
初一
90.1
93
___________
初二
92.3
___________


【得出结论】：
(2)估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共___________人．
(3)你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，说明从两个方面说明你的理由．
23．已知： 如图， 矩形 中， 点 是 上一点， 且 ．

（1）用尺规完成以下基本作图： 过点 作 的垂线交 于 ；（保留作图痕迹， 不写作法， 不下结论）
（2） 求证： ．
请将下列证明过程补充完整：
证明： ，
又 在矩形 中， ，
∴ ① ．
在矩形 中，
∴ ② ．
又 ③ ．
．
∴ ④ ．
，
∴．

四、填空题
24．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是______________．

25．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形．

26．对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当为奇数时，第次操作结果；当为偶数时，第次操作结果；四个结论中正确的有___________．
27．某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有10名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为 ．已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费9天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调1人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为___________．

五、解答题
28．随着疫情管控的放开，甲、乙两支队伍计划自驾去西藏旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程2400千米，乙队走路线，全程3200千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求的值．
29．对任意一个四位数，将这个四位数千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字与个位上数字得到2314，所以．如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数位“平衡数”，例如：1423，因为，所以1423是一个平衡数．
(1)请计算，并证明：对于任意一个四位数，都有为整数；
(2)若一个“平衡数”的十位数字比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能同时被3和11整除，求的最小值．
30．在中，，平分，为上一点．

(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；
(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；
(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点、，请直接写出的值．

参考答案：
1．B
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．A
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，进而根据无理数大小估计求解即可．
【详解】解：，
∵16<24<25，
∴4<<5，
∴2<-2<3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数大小估计，掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
3．C
【分析】设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为a，根据“2021年第三季度平均每周作业时长为630分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，现在平均每周作业时长为450分钟”，列方程即可得到结论．
【详解】】解：设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为a，
可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．A
【分析】根据平行四边形的判定定理，即可判定．
【详解】解：如图：

，，
四边形是平行四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握和运用平行四边形的判定定理是解决本题的关键．
5．D
【分析】由题意可得菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求菱形边长，即可求菱形的周长．
【详解】解：设对角线AC，BD相交于O
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BO＝DO＝12
∴AB＝＝13
∴菱形ABCD的周长＝13×4＝52
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】由菱形较大的角是较小角的3倍，可求得菱形较小角的度数，又由高为4cm，可求得菱形的边长，继而求得这个菱形的面积．
【详解】解：∵菱形较大的角是较小角的3倍，
∴菱形较小角的是：，即，高cm，如图，
∴cm，
∴这个菱形的面积为：．
故选B．

【点睛】此题考查了菱形的性质与等腰直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．D
【分析】根据菱形的性质直接判断即可．
【详解】解：A、菱形的四个角不相等，故错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的对角线垂直但不相等，故错误，是假命题，不符合题意；
C、菱形的四条边相等但不互相垂直，故错误，是假命题，不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质．
8．D
【分析】根据矩形性质进行判断：矩形的两条对角线相等，4个角是直角等.
【详解】根据矩形性质， ，，只有D说法不正确的.
故选D
【点睛】本题考核知识点：矩形性质. 解题关键点：熟记矩形性质.
9．A
【分析】连接BF，由翻折变换可知BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可得，据此可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可．
【详解】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，
又∵AB=4，
∴，
∵，
∴，
则BF=，
∴FE=BE=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC =90°，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形与折叠，勾股定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．D
【分析】先根据平行四边形对边相等得出AD=10，CD=6，再利用中垂线性质得出AE=CE，最后利用三角形周长公式可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，CD=AB=6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
则△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=16，
即△CDE的周长为16，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．C
【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①新的四边形成为矩形，符合条件；
②四边形是平行四边形，．
．
根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③四边形是平行四边形，．
．
．
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
12．C
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中至少有2个整数解，确定出m的范围，表示出分式方程的解，由解为非负数确定出m的值即可．
【详解】解：
解不等式①得，x≥2
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组至少有2个整数解：2，3
∴，
解得：m＞3，
分式方程去分母得：2y+m-2m=4（y-2），
解得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且，
解得：m≤8且m≠4，
∴3＜m≤8且m≠4，
∴整数m=5，6，7，8，
则满足题意整数m之和为26．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
13．
【分析】根据负整指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
故答案为：
【点睛】本题考查了负整指数幂，零指数幂，正确的计算是解题的关键．
14．
【分析】根据题意画出树状图，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得，

共有9种可能的结果，两次都摸到白球有4种情况，
前后两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了随机事件的概率，利用树状图法结合概率公式计算是解题的关键．
15．15
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. 根据根与系数的关系得到x1+x2和x1·x2的值，再根据x12+x22＝（x1+x2）2-2x1·x2，代入计算即可．
【详解】∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2=3，x1·x2=-3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2-2x1·x2=32-2×（-3）=15．
故答案为15.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， .
16．3.4.####
【分析】先证是的垂直平分线，得，再利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】解：连结，
在矩形中，，，，，
∵AB=3，BC=5，
∴，，
∵OE⊥AC，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：.

【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是识别垂直平分线并用勾股定理建立方程.
17．32°
【详解】解：∵根据折叠得出∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，
又∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，
∴∠ABC+∠E′BD=90°，
∵∠ABC=58°，
∴∠E′BD=32°，
故答案为：32°．
18．2.4##
【分析】证明四边形CFDE是矩形，由垂线段最短可得，当时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，求得此时的最小值即可．
【详解】解：如图，连接CD．
∵，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB==5(cm)，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，，
四边形CFDE是矩形．
∴EF=CD，
由垂线段最短可得，当CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小．
此时，．
解得CD=2.4cm．
∴EF的最小值是2.4cm．
故答案为：2.4．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，解决问题的关键在于判断出时，线段CD的值最小．
19．(1)x2−3y2；
(2)

【分析】（1）先根据平方差公式展开，再合并同类项即可；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分即可．
【详解】（1）解：原式＝x2−4y2＋y2
＝x2−3y2；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查整式、分式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则及分式的基本性质．
20．(1)，
(2)，

【分析】(1)利用公式法解此方程，即可求解；
(2)利用直接开平方法解此方程，即可求解．
【详解】（1）解：方程中，，，，
，
，
，，
所以，原方程的解为，；
（2）解：由原方程得，
，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21．，．
【分析】先对原式进行化简，再从-1，0，1，2中选取使原分式有意义的2代入求解．
【详解】解：原式


，
∵x=-1或0或1时，原分式无意义；
∴当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式混合运算的方法和顺序、分式有意义的条件是解题关键．
22．(1)2，4，，
(2)135
(3)初二学生掌握禁毒知识比较好

【分析】(1)根据表中数据即可填得；
(2)根据初一、初二满分数，分别用总人数乘以满分数，再求和即可；
(3)根据平均数和中位数的意义解答可得．
【详解】（1）解：填表如下：
分数段




初一人数
2
2
4
12
初二人数
2
2
1
15

初二20名同学的测试成绩从小到大排列，第10个数字是97，第11个数字是98，
故初二20名同学的测试成绩的中位数为：，
初一20名同学的测试成绩中，满分的有5人，
故满分率为：，
样本数据的平均数、中位数、满分率如表：
年级
平均数
中位数
满分数
初一

93

初二




（2）解：(人)，
故估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共135人，
故答案为：135；
（3）解：从平均分来看，初二学生掌握禁毒知识比较好；
从中位数来看，初二学生掌握禁毒知识比较好，
故初二学生掌握禁毒知识比较好．
【点睛】本题主要考查频数分布表，解题的关键是熟练掌握数据的整理、样本估计总体思想的运用、平均数和中位数的意义．
23．（1）见解析（2）；；；
【分析】（1）以点为圆心，以的长度为半径画弧交于点两点，利用尺规作图作线段垂直平分线即可求解．
（2）利用矩形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定及性质求证即可求得答案．
【详解】解：（1）作图如图所示，

以点为圆心，以的长度为半径画弧交于点两点，利用尺规作图作线段垂直平分线，垂足为，
则即为所求．
（2），
，
又 在矩形 中， ，
∴，
在矩形 中，
∴，
又 ，
．
∴ ，
，
∴，
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定及性质，利用尺规作图作出一条线段的垂直平分线，对平行线的性质及全等三角形的判定条件及性质的掌握是解题的关键．
24．
【分析】由矩形的性质得出，互相平分，且，再由垂线段最短的性质得出时，的值最小，即的值最小，然后由勾股定理求出，最后由面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
∵时，最短，同样也最短，
当时，
∵，
∴
∴最短时，，
∴当最短时，，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键，属于中考常考题型．
25．或8
【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值．
【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图，

点是的中点，
，
，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当，
由题意知：此情况不存在，
综上所述，为直角三角形时，或8，
故答案为：或8．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．
26．④

【分析】根据题意可得出规律为，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，
，
，
，
，
以此类推，
可得．
由于，
，
，
，
以此类推，
可得，
当n为奇数时，，当n为偶数时，．
，故结论①错误；



．
故结论②错误；




．
故结论③错误；
∵当n为奇数时，，当n为偶数时，，
故结论④正确．
故四个结论中正确的有④，共1个，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式及平方差公式，整式规律探究，找出规律是解决本题的关键．
27．
【分析】设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人， b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色革的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，根据甲乙两地的种植面积相等列出方程，并求出其整数解，便可解决问题．
【详解】解∶设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为 、 、 ，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为a人，b人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色董的人数分别为 人、 人、 人，在乙地种植的天数比甲地少y天，则
，
整理得，
∴ ，
∵a、b、y都是正整数，且 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为∶，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程，正确求出不定解方程的整数解是解题的关键．
28．(1)甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
(2)5

【分析】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据“乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，这样乙队可以比甲队提前2天到达目的地”可列出分式方程，求解方程即可得出结果；
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据“两队共需花费18720元”列方程求解即可．
【详解】（1）设甲队计划的天数为x天，则乙队计划天数为天，根据题意得，

整理得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
所以，甲队计划的天数为6天，则乙队计划天数为4天
（2）设甲队后来总人数是个，乙队总人数是个，根据题意得，

整理得，

解得，或
∵
∴，即的值为5
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时寻找方程的等量关系是关键．
29．(1)，证明见解析
(2)的最小值为9

【分析】（1）按例子的运算法则进行相关计算即可，设，按运算法则计算即可证得；
（2）根据平衡数的定义，引入方程思想来解答即可．
【详解】（1）解：，
证明：设一个四位数，其中a、b、c、d为的整数，
，
、b、c、d为的整数，
对于任意的四位数，都是整数；
（2）解：设平衡数，
由平衡数定义，可得，
由N的十位数字比百位数字的2倍少1， 得，


.
可被11整除，
，
为整数，
又且n为整数，
，
，
，
又能被3整除，
，
为整数，
又，
或5或8，
或或，
，，，
的最小值是9．
【点睛】此题考查了整式的加减运算，有理数整除的相关知识，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，有一定的新意．
30．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，在中，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，证明，设，继而证明，得出，根据，即可得出结论；
（3）过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，由（2）可知是等腰直角三角形，则四边形是正方形，得出是等腰直角三角形，证明，求得，在中，设，，继而解直角三角形，求得，接下来求得的长，设，勾股定理得出①，证明，得出②，联立解关于的方程，即可求解，进而求得比值即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
设，则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2），理由如下，
证明：如图，连接，过点作于点，

设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
又，，
∴，
∴
设，
∵，
∴
∴，
∴，
在与中，

∴
∴
∵，,
又∵,
∴,
∴

（3）解：如图所示，

过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，
由（2）可知是等腰直角三角形，
依题意，则四边形是正方形，
∴，,
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴
∴
即
∴
∴,，
则，
∴,
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，,
∵折叠，
∴
设
∴
在中，

∴
∴，
∴，
∵，
∴,
设，则
在中，，
即①
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴
∴②，
联立①②得
解得：或（舍去）
∴
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，构造全等三角形是解题的关键．