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高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就精品课后练习题
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就精品课后练习题，共5页。试卷主要包含了首张黑洞照片等内容，欢迎下载使用。
1.深空探测将推动空间科学、空间技术、空间应用全面发展。假设我国发射探测器到某一星球上。已知地球质量约为该星球质量的9倍，地球半径约为该星球半径的2倍。则该探测器在地球表面和该星球表面所受的重力大小之比为（ ）
A. 3∶2 B. 3∶4
C. 9∶2 D. 9∶4
2.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则gg0为（ ）
A. 1 B.19 C.14 D.116
3.地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有（ ）
A.物体在赤道处所受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B.赤道处的角速度比南纬30°处的角速度大
C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
4.首张黑洞照片（如图）的发布，引起了全球对黑洞的关注。若宇宙中有一半径约45 km的黑洞，其质量M和半径R的关系满足2GM=c2R（其中G为引力常量；c为光速，大小为3×108 m/s），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A. 108 m/s2B. 1010 m/s2
C. 1012 m/s2D. 1014 m/s2
5.科学家由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞。假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质
量（ ）
A.地球绕太阳公转的周期和速度
B.太阳的质量和运行速度
C.太阳的质量和到黑洞的距离
D.太阳运行速度和到黑洞的距离
6. 2021年5月15日，我国“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，这标志着我国对火星探测的重大突破。若探测器着陆火星后以10 m/s的初速度竖直向上射出一小球，经4.5 s后小球落回探测器内。已知火星的半径为地球半径的一半，且其表面空气非常稀薄，空气阻力忽略不计，地球表面重力加速度g取10 m/s2。则（ ）
A.火星的密度与地球的密度之比为8∶9
B.火星的密度与地球的密度之比为3∶2
C.忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为9∶4
D.忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为3∶2
7.一物体静止在质量分布均匀的星球表面的“赤道”上。已知引力常量为G，星球密度为ρ。若由于星球自转使物体对星球表面的压力恰好为零，则该星球自转的周期为（ ）
A.3πρG B.43ρGπ
C.43ρGπ D.3πρG
8.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法不正确的是（ ）
A.两颗星有相同的角速度
B.两颗星的旋转半径与质量成反比
C.两颗星的加速度与质量成反比
D.两颗星的线速度与质量成正比
9.某双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A.n3k2TB.n3kT C.n2kT D.nkT
10.［多选］宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系：它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图7-3-3中实线所示，其轨道半径rAA. 线速度大小关系是vAB. 加速度大小关系是aA>aB>aC
C.质量大小关系是mA>mB>mC
D.所受万有引力合力的大小关系是FA=FB=FC
11.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体。求：
（1）地球半径R；
（2）地球的平均密度。
12.太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极测量时的读数小10%。已知引力常量G=6.7×10−11 N·m2/kg2，求此行星的平均密度。
13.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了一个双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7-3-2所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2） 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
14.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为 m，引力常量为G。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
课时把关练
3 万有引力理论的成就
参考答案
1. D 解析：根据在星球表面的重力等于万有引力可得，设探测器的质量为m，则该探测器在地球表面所受的重力大小为G1=GM地mR地2，在该星球表面所受的重力大小为G2=GM星mR星2，所以探测器在地球表面和该星球表面所受的重力大小之比G1G2=M地R星2M星R地2=94。
2. D 解析：地球表面处的重力加速度和在距离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上：GmMR2=mg0①
离地心4R处：GmM(4R)2=mg②
由①②两式得gg0=(R4R)2=116。
3. A 解析：由F=GMmR2可知，若将地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，故A正确。地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，故B错误。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，故C错误。地面上物体随地球自转的向心力是由万有引力与地面支持力的合力提供，故D错误。
4. C 解析：由mg=GMmR2和2GM=c2R联立解得g=c22R=9×10162×45×103 m/s2=1012 m/s2，选项C正确。
5. D 解析：地球绕太阳公转，中心天体是太阳，根据周期和速度只能求出太阳的质量，故A错误。
根据万有引力提供向心力，有GMmR2=mv2R，中心天体是黑洞，太阳的质量约去，只知道运行速度或轨道半径，不能求出黑洞的质量，故B、C错误。
根据万有引力提供向心力，有GMmR2=mv2R，知道环绕天体的运行速度和轨道半径，可以求出黑洞的质量，故D正确。
6. A 解析：小球在火星上g'=2vt=409m/s2，根据G=mg可得，忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为G‘G=g'g=49，故C、D错误；
根据GMmR2=mg，结合M=ρV=4ρπR33，联立可得ρ=3g4GπR，火星的密度与地球的密度之比ρ'ρ=g'g×2RR=89，故A正确，B错误。
7. A 解析：设该星球质量为M，半径为R，物体质量为m，万有引力提供向心力，则有GmMR2=mRω2，又M=ρV=ρ·43πR3，联立以上两式解得ω=43ρGπ，所以周期为T=2πω=2π43ρGπ=3πρG，故A正确。
8. D 解析：双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间距离为R+r，双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，所以A正确；旋转半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的旋转半径与质量成反比，所以B正确；两颗星的向心力大小相等，故满足mam=MaM，两颗星的加速度与质量成反比，所以C正确；线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度与质量成反比，所以D错误。
9. B 解析：由万有引力提供向心力有Gm1m2L2=m1r1(2πT)2，Gm1m2L2=m2r2(2πT)2，又L=r1+r2，M=m1+m2，联立以上各式可得T 2=4π2L3GM，故当两星总质量变为kM，两星之间距离变为nL时，圆周运动的周期将变为n3kT，故B选项正确。
10. AC 解析：三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA设等边三角形ABC的边长为b，由题意可知三颗星受到万有引力的合力都指向圆心O，因此有GmAmCb2>GmBmCb2，则mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确。
两个分力的夹角（锐角）一定时，两个分力中一个力不变，另一个力越大，其合力越大，由此可知FA>FB>FC，故D错误。
11. 解：（1）在地球表面两极，有F万=mg0，
在赤道处，由牛顿第二定律可得F万-mg=m(2πT)2R，
可得R=(g0−g)T24π2。
（2）在地球表面两极，有GMmR2=mg0，
由密度公式可得ρ=M43πR3，解得ρ=3πg0GT2(g0−g)。
12. 解：由题意知行星自转的周期为T=6 h。设行星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，则M=43ρπR3，两极的重力为物体受到的万有引力，F=GMmR2，m是一个假定的物体的质量，
物体在赤道处随行星自转的向心力为Fn=m(2πT)2R，
弹簧测力计的读数为F′，由题意得到F'=F−Fn，
则有GMmR2−m(2πT)2R=0.9 GMmR2，
联立并代入数据解得ρ=30πGT2≈3.0×103 kg/m3。
13. 解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，为ω。由牛顿第二定律，有FA=m1ω2r1，FB=m2ω2r2，FA=FB
设A、B之间的距离为r，有r=r1+r2
由上述各式得r=(m1+m2)r1m2①
由万有引力定律，有FA=Gm1m2r2
将①式代入上式得FA=Gm1m23(m1+m2)2r12
令 FA=Gm1m'r12，可得m′=m23(m1+m2)2②
（2）由牛顿第二定律，有Gm1m'r12=m1v2r1③
又可见星A的轨道半径r1=vT2π④
由②③④式可得m23(m1+m2)2=v3T2πG。
14. 解：（1）对于第一种运动情况，以某颗运动星体为研究对象，如图，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1=Gm2R2，F2=Gm2(2R)2，
F1+F2=5Gm24R2=mv2R，
星体运动的线速度v=5Gm4R=125GmR，
设周期为T，则有T=2πRv=4πRR5Gm。①
（2）设第二种形式星体之间的距离为r，则三颗星做圆周运动的半径R′=r2cs 30°②
由于星体做圆周运动所需要的向心力由其他两颗星体的万有引力的合力提供，如图，由力的合成和牛顿第二定律有
F合=2Gm2r2cs 30°③
F合=m4π2T2R'④
由①②③④式得r=3125R。
1.深空探测将推动空间科学、空间技术、空间应用全面发展。假设我国发射探测器到某一星球上。已知地球质量约为该星球质量的9倍，地球半径约为该星球半径的2倍。则该探测器在地球表面和该星球表面所受的重力大小之比为（ ）
A. 3∶2 B. 3∶4
C. 9∶2 D. 9∶4
2.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则gg0为（ ）
A. 1 B.19 C.14 D.116
3.地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有（ ）
A.物体在赤道处所受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B.赤道处的角速度比南纬30°处的角速度大
C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
4.首张黑洞照片（如图）的发布，引起了全球对黑洞的关注。若宇宙中有一半径约45 km的黑洞，其质量M和半径R的关系满足2GM=c2R（其中G为引力常量；c为光速，大小为3×108 m/s），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A. 108 m/s2B. 1010 m/s2
C. 1012 m/s2D. 1014 m/s2
5.科学家由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞。假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质
量（ ）
A.地球绕太阳公转的周期和速度
B.太阳的质量和运行速度
C.太阳的质量和到黑洞的距离
D.太阳运行速度和到黑洞的距离
6. 2021年5月15日，我国“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，这标志着我国对火星探测的重大突破。若探测器着陆火星后以10 m/s的初速度竖直向上射出一小球，经4.5 s后小球落回探测器内。已知火星的半径为地球半径的一半，且其表面空气非常稀薄，空气阻力忽略不计，地球表面重力加速度g取10 m/s2。则（ ）
A.火星的密度与地球的密度之比为8∶9
B.火星的密度与地球的密度之比为3∶2
C.忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为9∶4
D.忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为3∶2
7.一物体静止在质量分布均匀的星球表面的“赤道”上。已知引力常量为G，星球密度为ρ。若由于星球自转使物体对星球表面的压力恰好为零，则该星球自转的周期为（ ）
A.3πρG B.43ρGπ
C.43ρGπ D.3πρG
8.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法不正确的是（ ）
A.两颗星有相同的角速度
B.两颗星的旋转半径与质量成反比
C.两颗星的加速度与质量成反比
D.两颗星的线速度与质量成正比
9.某双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A.n3k2TB.n3kT C.n2kT D.nkT
10.［多选］宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系：它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图7-3-3中实线所示，其轨道半径rA
C.质量大小关系是mA>mB>mC
D.所受万有引力合力的大小关系是FA=FB=FC
11.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体。求：
（1）地球半径R；
（2）地球的平均密度。
12.太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极测量时的读数小10%。已知引力常量G=6.7×10−11 N·m2/kg2，求此行星的平均密度。
13.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了一个双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7-3-2所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2） 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
14.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为 m，引力常量为G。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度大小和周期；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
课时把关练
3 万有引力理论的成就
参考答案
1. D 解析：根据在星球表面的重力等于万有引力可得，设探测器的质量为m，则该探测器在地球表面所受的重力大小为G1=GM地mR地2，在该星球表面所受的重力大小为G2=GM星mR星2，所以探测器在地球表面和该星球表面所受的重力大小之比G1G2=M地R星2M星R地2=94。
2. D 解析：地球表面处的重力加速度和在距离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上：GmMR2=mg0①
离地心4R处：GmM(4R)2=mg②
由①②两式得gg0=(R4R)2=116。
3. A 解析：由F=GMmR2可知，若将地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，故A正确。地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，故B错误。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，故C错误。地面上物体随地球自转的向心力是由万有引力与地面支持力的合力提供，故D错误。
4. C 解析：由mg=GMmR2和2GM=c2R联立解得g=c22R=9×10162×45×103 m/s2=1012 m/s2，选项C正确。
5. D 解析：地球绕太阳公转，中心天体是太阳，根据周期和速度只能求出太阳的质量，故A错误。
根据万有引力提供向心力，有GMmR2=mv2R，中心天体是黑洞，太阳的质量约去，只知道运行速度或轨道半径，不能求出黑洞的质量，故B、C错误。
根据万有引力提供向心力，有GMmR2=mv2R，知道环绕天体的运行速度和轨道半径，可以求出黑洞的质量，故D正确。
6. A 解析：小球在火星上g'=2vt=409m/s2，根据G=mg可得，忽略地球及火星的自转，小球在火星表面所受重力与在地球表面所受重力大小之比为G‘G=g'g=49，故C、D错误；
根据GMmR2=mg，结合M=ρV=4ρπR33，联立可得ρ=3g4GπR，火星的密度与地球的密度之比ρ'ρ=g'g×2RR=89，故A正确，B错误。
7. A 解析：设该星球质量为M，半径为R，物体质量为m，万有引力提供向心力，则有GmMR2=mRω2，又M=ρV=ρ·43πR3，联立以上两式解得ω=43ρGπ，所以周期为T=2πω=2π43ρGπ=3πρG，故A正确。
8. D 解析：双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间距离为R+r，双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，所以A正确；旋转半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的旋转半径与质量成反比，所以B正确；两颗星的向心力大小相等，故满足mam=MaM，两颗星的加速度与质量成反比，所以C正确；线速度v=Rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度与质量成反比，所以D错误。
9. B 解析：由万有引力提供向心力有Gm1m2L2=m1r1(2πT)2，Gm1m2L2=m2r2(2πT)2，又L=r1+r2，M=m1+m2，联立以上各式可得T 2=4π2L3GM，故当两星总质量变为kM，两星之间距离变为nL时，圆周运动的周期将变为n3kT，故B选项正确。
10. AC 解析：三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA
两个分力的夹角（锐角）一定时，两个分力中一个力不变，另一个力越大，其合力越大，由此可知FA>FB>FC，故D错误。
11. 解：（1）在地球表面两极，有F万=mg0，
在赤道处，由牛顿第二定律可得F万-mg=m(2πT)2R，
可得R=(g0−g)T24π2。
（2）在地球表面两极，有GMmR2=mg0，
由密度公式可得ρ=M43πR3，解得ρ=3πg0GT2(g0−g)。
12. 解：由题意知行星自转的周期为T=6 h。设行星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，则M=43ρπR3，两极的重力为物体受到的万有引力，F=GMmR2，m是一个假定的物体的质量，
物体在赤道处随行星自转的向心力为Fn=m(2πT)2R，
弹簧测力计的读数为F′，由题意得到F'=F−Fn，
则有GMmR2−m(2πT)2R=0.9 GMmR2，
联立并代入数据解得ρ=30πGT2≈3.0×103 kg/m3。
13. 解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，为ω。由牛顿第二定律，有FA=m1ω2r1，FB=m2ω2r2，FA=FB
设A、B之间的距离为r，有r=r1+r2
由上述各式得r=(m1+m2)r1m2①
由万有引力定律，有FA=Gm1m2r2
将①式代入上式得FA=Gm1m23(m1+m2)2r12
令 FA=Gm1m'r12，可得m′=m23(m1+m2)2②
（2）由牛顿第二定律，有Gm1m'r12=m1v2r1③
又可见星A的轨道半径r1=vT2π④
由②③④式可得m23(m1+m2)2=v3T2πG。
14. 解：（1）对于第一种运动情况，以某颗运动星体为研究对象，如图，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1=Gm2R2，F2=Gm2(2R)2，
F1+F2=5Gm24R2=mv2R，
星体运动的线速度v=5Gm4R=125GmR，
设周期为T，则有T=2πRv=4πRR5Gm。①
（2）设第二种形式星体之间的距离为r，则三颗星做圆周运动的半径R′=r2cs 30°②
由于星体做圆周运动所需要的向心力由其他两颗星体的万有引力的合力提供，如图，由力的合成和牛顿第二定律有
F合=2Gm2r2cs 30°③
F合=m4π2T2R'④
由①②③④式得r=3125R。
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