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初中数学人教版七年级上册4.3.1 角学案
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角学案，共13页。
课首沟通
1、通过课后练习，上节课是否还有不了解的地方？
2、锐角，直角，钝角，平角，周角的范围或者度数是多少？
3、我们常用的三角板有哪些度数？
知识导图
导学一 ： 角的概念
知识点讲解 角的定义
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
角的比较与计算、余角和补角
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解角的概念，掌握角的表示方法．理解平角、周角的概念．
2、会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念．
重、难点
1、掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2、掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
3、掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
4、掌握规范的几何语言书写过程；
5、掌握方程思想在角度计算中的运用.
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示， 角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如下图所示，射线OA绕它 的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点关注：
两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
例 1. 判断对错
平角是一条直线（）
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1. [单选题] 下列语句正确的是( )． A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
知识点讲解 角的表示方法及画法
角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
角的画法：
（1）用一副三角板可以画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°等
（15°倍数的特殊角）．
用量角器可以画出任意给定度数的角．
利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
例 1. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).
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[单选题] 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）
A. B.C. D.
[单选题] 如图所示，下列说法错误的是（）
A．∠DAO就是∠DACB．∠COB就是∠OC．∠2就是∠OBCD．∠CDB就是∠1
知识点讲解 度、分、秒的换算
1、角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1 分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
要点关注：(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
2、角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化)，1″＝（1÷60）′，1′＝（1÷60）°，用除法． 度及度、分、秒之间的转化须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
例 1. (1) 将70.23°用度、分、秒表示； (2) 将26°48′36″用度表示．
例 2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；
(3)35°3 6′47″×9；(4)41°37′÷3．
【学有所获】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往 先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
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（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；（2）把33°24′36″转化成度表示的形式．
2. (1) 23°45′36″+66°14′24″；(2) 180°-98°24′30″；
(3) 15°50′42″×3；(4) 88°14′48″÷4．
知识点讲解 角的比较与运算
角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′； 由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
常见角的比较：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
例 1. 已知∠AOB（如图所示），画一个角等于这个角．
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1. 不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
知识点讲解 角的运算
1.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：
∠1＝∠AOB-∠2．
②代数意义：如已知∠1＝15°，∠2＝30°，则∠1+∠2就可以像代数加法一样计算，∠AOB＝
∠1+∠2=15+30=45°
例 1. 如图，点B，O，D在同一直线上，如果∠2=110°，∠AOC=90°，∠1的度数为。
例 2. [单选题] 下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（）
（1）15°的角； （2）65°的角； （3）75°的角； （4）135°的角； （5）145°的角
A．（1）（3）（4）B．（1）（3）（5）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）（5）
【学有所获】利用一副三角板可以画出15°倍数的角.
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利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角 ？
已知∠AOB=37°，∠AOC=2∠AOB，求∠BOC的度数．
知识点讲解 角的平分线
角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 如图所示，∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠AOB，∠AOB＝2∠1＝2∠2.
涉及的初步几何模型：如图，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，那么∠DOE占∠AOB的一半。当∠A0B等于180度时，∠DOE等于 90度。
例 1. 如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，求∠DOE的度数．
例 2. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．
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1. （2014年白云区期末） 如图，OB是∠ AOC的平分线，OD是∠ COE的平分线．
如果∠ AOB=50°，∠ DOE=30°，那么∠ BOD是多少度？
如果∠ AOE=160°，∠ COD=30°，那么∠ AOB是多少度？
知识点讲解 余角和补角
余角和补角：
1、定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°
∴∠1和∠2互为余角，∠3和∠4互为补角
2、 性质：（1）等角的余角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90 °，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
（2）等角的补角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
要点诠释：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
例 1. [单选题] 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角的度数是（）
A．60°B．30°C．90°D．120°
例 2. [单选题] 下列说法正确的个数为（）.
①锐角的补角一定是钝角；②锐角和钝角互补；③一个角的补角一定大于这个角；
④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
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[单选题] 如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是（）
A．130°B．40°C．90°D．140°
如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，∠EOC=28°25′．求∠AOD的度数
知识点讲解 利用方程思想解决角度计算问题
利用角度和差计算，我们经常可以通过设未知数来表示一个或多个角，例如锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角 α的补角可以表示为(180°-α) ，达到利用一个式子来表示其他角的目的，从而根据其他已知条件建立方程，解出未知数。
例 1. 一个角的补角与这个角的余角的和是平角的 还多1°，求这个角？
例 2. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．
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一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 度.
已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=24°，求∠ABC的度数．
知识点讲解 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东 60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例 1. [单选题] A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是() ．
A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏东30°D．南偏西30°
例 2. [单选题] 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为
（）
A．69°B．111°C．141°D．159°
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[单选题] 如图，点A位于点O的（）方向上．
南偏东35°B. 北偏西65°C．南偏东65°D. 南偏西65°
知识点讲解 角的综合运用和计算
运用整体思想解决角的计算问题（与角有关的定值问题）
熟悉基础几何模型的特征
整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法． 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设
元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．
例 1. 已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON= ．
如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
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1. 如图，已知O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB平分线，求∠DOE的度数．
限时考场模拟
[单选题] 下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是 ()
A．
C．D.
[单选题] 下列说法中，错误的是() A．借助三角尺，我们可以画135°的角
把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角
[单选题] 如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝∠1，则∠BOD等于（） A．90°＋∠1B．90°－∠1C．180°＋∠1D．180°－∠1
[单选题] 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，则 ∠COB的度数为
（）.
A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′
已知∠A的度数为30°15′，则∠A的余角的度数为
如图，∠AOD=80°°，∠AOB=30°，OB是∠AOC的平分线，则∠AOC的度数为 ，∠COD的度数为
将一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °，则∠CAD的度数是 。
已知∠AOB=48°，以OB为一边画一个∠BOC=20°，则∠AOC= 。
如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数．
3. [单选题]
钟表上8时30分时，时针与分针所成的角是 (
) .
A．45°
B．60°
C．75°
D．以上答案都不对
若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD=∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数
课后作业
[单选题] 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
[单选题] 艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC的度数是（）
A． 135°B． 115°C． 105°D． 95°
[单选题] 钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（）
A．75°B．80°C．85°D． 90°
4. [单选题] 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（） A．∠1=∠3B．∠1=180°﹣∠3C．∠1=90°+∠3D．∠3=90°+∠1
[单选题] 已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（) A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10°
一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ．
若∠A=37°12′，则∠A的余角度数是 。
如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于 ．
点A,O,B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC
已知∠AOC=140°，求∠COD、 ∠COE和∠DOE;
说明∠AOD与∠BOE 互余。
1、复习这节课总结的一些方法和规律。
2、完成老师规定的作业，解答题的书写要注意规范性。
3、做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。
课首沟通
1、通过课后练习，上节课是否还有不了解的地方？
2、锐角，直角，钝角，平角，周角的范围或者度数是多少？
3、我们常用的三角板有哪些度数？
知识导图
导学一 ： 角的概念
知识点讲解 角的定义
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
角的比较与计算、余角和补角
课型
一对一/一对N
教学目标
1、理解角的概念，掌握角的表示方法．理解平角、周角的概念．
2、会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
3、理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念．
重、难点
1、掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2、掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
3、掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
4、掌握规范的几何语言书写过程；
5、掌握方程思想在角度计算中的运用.
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示， 角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如下图所示，射线OA绕它 的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点关注：
两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
例 1. 判断对错
平角是一条直线（）
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1. [单选题] 下列语句正确的是( )． A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
知识点讲解 角的表示方法及画法
角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
角的画法：
（1）用一副三角板可以画出15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°等
（15°倍数的特殊角）．
用量角器可以画出任意给定度数的角．
利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
例 1. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).
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[单选题] 如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）
A. B.C. D.
[单选题] 如图所示，下列说法错误的是（）
A．∠DAO就是∠DACB．∠COB就是∠OC．∠2就是∠OBCD．∠CDB就是∠1
知识点讲解 度、分、秒的换算
1、角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1 分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
要点关注：(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；
2、角的度数的换算有两种方法：
①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；
②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化)，1″＝（1÷60）′，1′＝（1÷60）°，用除法． 度及度、分、秒之间的转化须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．
例 1. (1) 将70.23°用度、分、秒表示； (2) 将26°48′36″用度表示．
例 2. 计算下列各题：
(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；
(3)35°3 6′47″×9；(4)41°37′÷3．
【学有所获】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往 先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．
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（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；（2）把33°24′36″转化成度表示的形式．
2. (1) 23°45′36″+66°14′24″；(2) 180°-98°24′30″；
(3) 15°50′42″×3；(4) 88°14′48″÷4．
知识点讲解 角的比较与运算
角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′； 由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
常见角的比较：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角
例 1. 已知∠AOB（如图所示），画一个角等于这个角．
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1. 不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)
知识点讲解 角的运算
1.角的和差：
角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．
①几何意义：如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：
∠1＝∠AOB-∠2．
②代数意义：如已知∠1＝15°，∠2＝30°，则∠1+∠2就可以像代数加法一样计算，∠AOB＝
∠1+∠2=15+30=45°
例 1. 如图，点B，O，D在同一直线上，如果∠2=110°，∠AOC=90°，∠1的度数为。
例 2. [单选题] 下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（）
（1）15°的角； （2）65°的角； （3）75°的角； （4）135°的角； （5）145°的角
A．（1）（3）（4）B．（1）（3）（5）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）（5）
【学有所获】利用一副三角板可以画出15°倍数的角.
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利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角 ？
已知∠AOB=37°，∠AOC=2∠AOB，求∠BOC的度数．
知识点讲解 角的平分线
角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 如图所示，∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠AOB，∠AOB＝2∠1＝2∠2.
涉及的初步几何模型：如图，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，那么∠DOE占∠AOB的一半。当∠A0B等于180度时，∠DOE等于 90度。
例 1. 如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，求∠DOE的度数．
例 2. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．
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1. （2014年白云区期末） 如图，OB是∠ AOC的平分线，OD是∠ COE的平分线．
如果∠ AOB=50°，∠ DOE=30°，那么∠ BOD是多少度？
如果∠ AOE=160°，∠ COD=30°，那么∠ AOB是多少度？
知识点讲解 余角和补角
余角和补角：
1、定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°
∴∠1和∠2互为余角，∠3和∠4互为补角
2、 性质：（1）等角的余角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90 °，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
（2）等角的补角相等．
用数学式子表示为：∵∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠2＝∠4
∴∠1＝∠3.
要点诠释：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
例 1. [单选题] 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角的度数是（）
A．60°B．30°C．90°D．120°
例 2. [单选题] 下列说法正确的个数为（）.
①锐角的补角一定是钝角；②锐角和钝角互补；③一个角的补角一定大于这个角；
④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等.
A．1个B．2个C．3个D．4个
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[单选题] 如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是（）
A．130°B．40°C．90°D．140°
如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，∠EOC=28°25′．求∠AOD的度数
知识点讲解 利用方程思想解决角度计算问题
利用角度和差计算，我们经常可以通过设未知数来表示一个或多个角，例如锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角 α的补角可以表示为(180°-α) ，达到利用一个式子来表示其他角的目的，从而根据其他已知条件建立方程，解出未知数。
例 1. 一个角的补角与这个角的余角的和是平角的 还多1°，求这个角？
例 2. 如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．
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一个角的余角比它的补角的还少40°，则这个角为 度.
已知：如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=24°，求∠ABC的度数．
知识点讲解 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东 60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例 1. [单选题] A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是() ．
A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏东30°D．南偏西30°
例 2. [单选题] 在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为
（）
A．69°B．111°C．141°D．159°
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[单选题] 如图，点A位于点O的（）方向上．
南偏东35°B. 北偏西65°C．南偏东65°D. 南偏西65°
知识点讲解 角的综合运用和计算
运用整体思想解决角的计算问题（与角有关的定值问题）
熟悉基础几何模型的特征
整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法． 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设
元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．
例 1. 已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON= ．
如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
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1. 如图，已知O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB平分线，求∠DOE的度数．
限时考场模拟
[单选题] 下面四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是 ()
A．
C．D.
[单选题] 下列说法中，错误的是() A．借助三角尺，我们可以画135°的角
把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角D．两个锐角之和是锐角、直角或钝角
[单选题] 如图，∠AOB是直角，∠COD也是直角，若∠AOC＝∠1，则∠BOD等于（） A．90°＋∠1B．90°－∠1C．180°＋∠1D．180°－∠1
[单选题] 如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，则 ∠COB的度数为
（）.
A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′
已知∠A的度数为30°15′，则∠A的余角的度数为
如图，∠AOD=80°°，∠AOB=30°，OB是∠AOC的平分线，则∠AOC的度数为 ，∠COD的度数为
将一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °，则∠CAD的度数是 。
已知∠AOB=48°，以OB为一边画一个∠BOC=20°，则∠AOC= 。
如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数．
3. [单选题]
钟表上8时30分时，时针与分针所成的角是 (
) .
A．45°
B．60°
C．75°
D．以上答案都不对
若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD=∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数
课后作业
[单选题] 如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
[单选题] 艘轮船行驶在B处同时测得小岛A，C的方向分别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC的度数是（）
A． 135°B． 115°C． 105°D． 95°
[单选题] 钟表在3点30分时，它的时针和分针所成的角是（）
A．75°B．80°C．85°D． 90°
4. [单选题] 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（） A．∠1=∠3B．∠1=180°﹣∠3C．∠1=90°+∠3D．∠3=90°+∠1
[单选题] 已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（) A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10°
一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ．
若∠A=37°12′，则∠A的余角度数是 。
如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于 ．
点A,O,B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC
已知∠AOC=140°，求∠COD、 ∠COE和∠DOE;
说明∠AOD与∠BOE 互余。
1、复习这节课总结的一些方法和规律。
2、完成老师规定的作业，解答题的书写要注意规范性。
3、做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。
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