2022-2023学年江苏省常州市高三上学期期末考试（延期）数学word版含答案

这是一份2022-2023学年江苏省常州市高三上学期期末考试（延期）数学word版含答案，共10页。

(满分：150分 考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．
1. 设集合A＝{x|x＜2}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(x－1,x－3)≤0)) ，则(∁RA)∩B＝( )
A. (1，2) B. [1，2] C. [2，3) D. [2，3]
2. 命题“∀x＞0，x＞ eq \f(1,x) ”的否定为( )
A. ∃x＞0，x≤ eq \f(1,x) B. ∃x≤0，x≤ eq \f(1,x) C. ∀x＞0，x≤ eq \f(1,x) D. ∀x≤0，x≤ eq \f(1,x)
3. 若复数z＝ eq \f(a＋3i,3＋i) (a∈R)是纯虚数，则z＝( )
A. －1 B. －i C. －ai D. 3i
4. 已知两个单位向量a，b满足(2b－a)⊥(2a－b)，则a与b的夹角的余弦值为( )
A. － eq \f(4,5) B. － eq \f(2,5) C. eq \f(2,5) D. eq \f(4,5)
5. 已知正三棱柱ABCA1B1C1与以△ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,π) C. eq \f(π,2) D. 2
6. 设C eq \\al(0,n) (x＋2)n－C eq \\al(1,n) (x＋2)n－1＋C eq \\al(2,n) (x＋2)n－2－…＋(－1)nC eq \\al(n,n) ＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an，则a1＋a2＋…＋an－1＝( )
A. 2n－1－2 B. 2n－1－1 C. 2n－2 D. 2n－1
7. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据：
已知该厂技术改造前100吨产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后100吨产品的生产能耗比技术改造前降低了( )
参考公式：在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝ eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－nxy,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x eq \\al(2,i) －nx2) ，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．
A. 19.65吨标准煤 B. 29.65吨标准煤
C. 70.35吨标准煤 D. 90吨标准煤
8. 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ex－1|，x≤1，,\f(ln x＋x,x－1)，x＞1，)) 则f(f(x))＝1解的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，函数P(x)＝ eq \f(1,\r(2π)×10) e－ eq \f(（x－90）2,200) (x∈R)的图象为其正态密度曲线，则下列说法正确的是( )
A. 这次测试的平均成绩为90
B. 这次测试的成绩的方差为10
C. 分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
10. 已知双曲线 eq \f(x2,16) － eq \f(y2,9) ＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是( )
A. 若直线PF1的斜率为k，则|k|∈[0， eq \f(3,4) )
B. 使得△PF1F2为等腰三角形的P有且仅有四个
C. 点P到两条渐近线的距离乘积为 eq \f(144,25)
D. 已知点Q(7，5)，则F2P＋PQ的最小值为5
11. 已知函数f(x)＝2x－tan x，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)不是周期函数
B. 函数f(x)的图象只有一个中心对称点
C. 函数f(x)的单调递减区间为(2kπ－ eq \f(π,4) ，2kπ＋ eq \f(π,4) )，k∈Z
D. 曲线y＝f(x)(－ eq \f(π,2) ＜x＜ eq \f(π,2) )只有一条过点(1，0)的切线
12. 若棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为R的球面上，球面上点P与球心O分别位于平面ABCD的两侧，且四棱锥PABCD是侧棱长为l的正四棱锥．记正四棱锥PABCD的侧棱与直线AB所成的角为α，与底面ABCD所成的角为β，则下列说法正确的是( )
A. 15°＜α＜45° B. 15°＜β＜45° C. R＝ eq \f(\r(3),2) a D. l＝ eq \f(4,5) a
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 数据23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36的25百分位数是________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x＝－2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x－10)2＋y2＝25上，则PQ的最小值为________．
15. 已知函数f(x)＝ eq \f(ex－e－x,ex＋e－x) ＋x2，则不等式f(x＋1)＋f(x－1)＜2x2＋2的解集为________．
16. 已知数列{an}中，a1＝1，n2an＋1＝2(n＋1)2an.记bn＝ eq \f(1,2) an＋1－an，则{an}的通项公式an＝________；{bn}的前n项和Tn＝________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．
(1) 记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和数学期望；
(2) 求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率．
18.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 记cn＝lg2bn＋1，求数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(c eq \\al(2,n) ,anan＋1))) 的前n项和Sn.
19.(本小题满分12分)
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边AB上的高CD为1，且c2＝ab cs C.
(1) 求证： eq \f(1,tan A) ＋ eq \f(1,tan B) ＝ eq \f(1,tan C) ；
(2) 求AB的最小值．
20.(本小题满分12分)
如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB，AC于点M，N.将△AMN沿着MN折起至△A1MN，使得二面角A1MNB是直二面角．
(1) 若平面A1MN∩平面A1BC＝l，求证：l∥BC；
(2) 若三棱锥A1AMN的体积为1，求二面角NA1MB的正弦值．
21.(本小题满分12分)
已知点P(2，－1)在椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)上，C的长轴长为4 eq \r(2) ，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率之积为 eq \f(1,4) .
(1) 求证：k为定值；
(2) 若直线l与x轴交于点Q，求QA2＋QB2的值．
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－ eq \f(1,3) x3＋ax2＋3ax＋1－a2，a∈R.
(1) 若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2) 设函数f(x)有两个极值点x1，x2，若过点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线恒在函数g(x)＝x·ex－ln x＋x图象的下方，求实数a的取值范围．
2022～2023学年高三年级模拟试卷(常州)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. A 3. B 4. D 5. D 6. C 7. A 8. A 9. AD 10. ABC 11. AD 12. BC
13. 23.5 14. 3 15. (－∞，0) 16. n22n－1 (2n－1)2n＋1
17. 解：(1) X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(2,7) ) ＝ eq \f(2,7) ，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,4) ,C eq \\al(2,7) ) ＝ eq \f(4,7) ，P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3) ,C eq \\al(2,7) ) ＝ eq \f(1,7) ，
所以随机变量X的概率分布为
所以随机变量X的数学期望为E(X)＝0× eq \f(2,7) ＋1× eq \f(4,7) ＋2× eq \f(1,7) ＝ eq \f(6,7) .(5分)
(2) 记事件B：从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球，
(1)中X＝0，1，2正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式，得
P(B)＝ eq \(∑,\s\up6(2),\s\d4(i＝0)) P(X＝i)P(B|X＝i)＝ eq \f(2,7) × eq \f(C eq \\al(1,4) ,C eq \\al(2,5) ) ＋ eq \f(4,7) × eq \f(C eq \\al(1,2) C eq \\al(1,3) ,C eq \\al(2,5) ) ＋ eq \f(1,7) × eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,2) ,C eq \\al(2,5) ) ＝ eq \f(19,35) ，
所以从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率为 eq \f(19,35) .(10分)
18. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6，
所以2＋d＝q2≠0，16＋8d＝q5，所以q3＝ eq \f(16＋8d,2＋d) ＝8，所以q＝2，d＝2.
从而an＝2n－1，bn＝2n－1.(6分)
(2) 易知cn＝lg2bn＋1＝lg22n＝n，
所以 eq \f(c eq \\al(2,n) ,anan＋1) ＝ eq \f(n2,（2n－1）（2n＋1）) ＝ eq \f(n2,4n2－1) ＝ eq \f(1,4) [1＋ eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）) ]＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,8) ( eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n＋1) )，
所以Sn＝ eq \f(c eq \\al(2,1) ,a1a2) ＋ eq \f(c eq \\al(2,2) ,a2a3) ＋…＋ eq \f(c eq \\al(2,n) ,anan＋1) ＝ eq \f(n,4) ＋ eq \f(1,8) ( eq \f(1,1) － eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(1,5) ＋…＋ eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n＋1) )，
即Sn＝ eq \f(n,4) ＋ eq \f(n,4（2n＋1）) ＝ eq \f(2n2＋2n,8n＋4) ＝ eq \f(n2＋n,4n＋2) .(12分)
19. 解：(1) 由c2＝ab cs C及正弦定理得sin2C＝sinA sin B cs C，所以 eq \f(sin C,sin A sin B) ＝ eq \f(cs C,sin C) .
因为锐角三角形中，A＋B＝π－C，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
所以 eq \f(sin A cs B＋cs A sin B,sin A sin B) ＝ eq \f(cs C,sin C) ，所以 eq \f(1,tan A) ＋ eq \f(1,tan B) ＝ eq \f(1,tan C) .(5分)
(2) 因为CD＝1，所以AD＝ eq \f(1,tan A) ，BD＝ eq \f(1,tan B) ，所以AB＝AD＋BD＝ eq \f(1,tan C) .
又因为tan C＝tan (∠ACD＋∠BCD)＝ eq \f(tan ∠ACD＋tan ∠BCD,1－tan ∠ACD·tan ∠BCD) ＝ eq \f(AD＋BD,1－AD·BD) ，
所以AD＋BD＝ eq \f(1－AD·BD,AD＋BD) ，(9分)
所以(AD＋BD)2＝1－AD·BD≥1－( eq \f(AD＋BD,2) )2，当且仅当AD＝BD时等号成立，
所以 eq \f(5,4) (AD＋BD)2≥1，所以AB＝AD＋BD≥ eq \f(2\r(5),5) .
所以AB的最小值为 eq \f(2\r(5),5) .(12分)
20. (1) 证明：因为MN∥BC，MN⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以MN∥平面A1BC，
又因为MN⊂平面A1MN，平面A1MN∩平面A1BC＝l，所以l∥BC.(4分)
(2) 解：取BC的中点D，连接AD交MN于点O，连接OA1.
在正三角形ABC中，MN∥BC，D为BC的中点，所以O为MN的中点，AM＝AN，
所以OD⊥MN，A1M＝AM＝AN＝A1N，从而OA1⊥MN.
因为二面角A1MNB是直二面角，即平面A1MN⊥平面BMN，
平面A1MN∩平面BMN＝MN，OA1⊂平面A1MN，
所以OA1⊥平面BMN，即OA1⊥平面ABC.(8分)
设OA＝OA1＝x，则 eq \f(MN,BC) ＝ eq \f(OA,AD) ＝ eq \f(x,2\r(3)) ，所以MN＝ eq \f(2x,\r(3)) .
因为三棱锥A1AMN的体积为1，
所以 eq \f(1,3) × eq \f(1,2) MN·OA·OA1＝1，即 eq \f(1,3) × eq \f(x,\r(3)) ·x2＝1，所以x＝ eq \r(3) .(9分)
以O为原点，OM，OD，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
易得平面A1MN的一个法向量为n1＝(0，1，0)，
M(1，0，0)，A1(0，0， eq \r(3) )，B(2， eq \r(3) ，0)，所以 eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(1， eq \r(3) ，0)，MA1＝(－1，0， eq \r(3) )，
设平面A1MB的法向量为n2＝(x，y，z)，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(MB,\s\up6(→))·n2＝0，,MA1·n2＝0，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y＝0，,－x＋\r(3)z＝0，)) 取z＝1，则x＝ eq \r(3) ，y＝－1，
所以平面A1MB的一个法向量为n2＝( eq \r(3) ，－1，1)， eq \f(n1·n2,|n1||n2|) ＝ eq \f(－1,1×\r(3＋1＋1)) ＝－ eq \f(\r(5),5) ，
即二面角NA1MB的正弦值为 eq \f(2\r(5),5) .(12分)
21. 解：(1) 因为C的焦点在x轴上且长轴为4 eq \r(2) ，则2a＝4 eq \r(2) ，
故可设椭圆C的方程为 eq \f(x2,8) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(2 eq \r(2) ＞b＞0).
因为点P(2，－1)在椭圆C上，所以 eq \f(4,8) ＋ eq \f(1,b2) ＝1，
解得b2＝2，所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,8) ＋ eq \f(y2,2) ＝1.(3分)
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，)) 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(－8km,1＋4k2)，,x1x2＝\f(4m2－8,1＋4k2)，))
所以k1k2＝ eq \f(y1＋1,x1－2) · eq \f(y2＋1,x2－2) ＝ eq \f(（kx1＋m＋1）（kx2＋m＋1）,（x1－2）（x2－2）) ＝ eq \f(k2x1x2＋k（m＋1）（x1＋x2）＋（m＋1）2,x1x2－2（x1＋x2）＋4) ＝ eq \f(1,4) ，
所以(4k2－1)x1x2＋(4km＋4k＋2)(x1＋x2)＋4(m2＋2m)＝0，
所以(4k2－1) eq \f(4m2－8,1＋4k2) ＋(4km＋4k＋2) eq \f(－8km,1＋4k2) ＋4(m2＋2m)＝0，
整理得(2k－1)(2k＋1＋m)＝0，因为直线l不经过点P，
所以2k＋1＋m≠0，故2k－1＝0，即k＝ eq \f(1,2) 为定值．(7分)
(2) 因为直线l：y＝ eq \f(1,2) x＋m，所以Q(－2m，0)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，)) 得2x2＋4mx＋4m2－8＝0，即x2＋2mx＋2m2－4＝0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－2m，,x1x2＝2m2－4，))
所以| eq \(OA,\s\up6(→)) |2＋| eq \(QB,\s\up6(→)) |2＝(x1＋2m)2＋y eq \\al(2,1) ＋(x2＋2m)2＋y eq \\al(2,2)
＝(x1＋2m)2＋ eq \f(1,4) (x1＋2m)2＋(x2＋2m)2＋ eq \f(1,4) (x2＋2m)2＝ eq \f(5,4) [(x1＋2m)2＋(x2＋2m)2]
＝ eq \f(5,4) [x eq \\al(2,1) ＋x eq \\al(2,2) ＋4m(x1＋x2)＋8m2]＝ eq \f(5,4) [(x1＋x2)2＋4m(x1＋x2)－2x1x＋8m2]
＝ eq \f(5,4) [(－2m)2－2m·4m－2(2m2－4)＋8m2]＝10.(12分)
22. 解：(1) 因为a＝1，f(x)＝－ eq \f(1,3) x3＋x2＋3x，f′(x)＝－x2＋2x＋3＝0，令f′(x)＝0，得x＝－1，3.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，3)，单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).(4分)
(2) 因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，
所以f′(x)＝－x2＋2ax＋3a＝0有两个不相等的解x1，x2，Δ＝4a2＋12a＞0，
所以a＞0或a＜－3，x eq \\al(2,1) ＝2ax1＋3a，则x eq \\al(3,1) ＝2ax eq \\al(2,1) ＋3ax1，
所以f(x1)＝－ eq \f(1,3) (2ax eq \\al(2,1) ＋3ax1)＋ax eq \\al(2,1) ＋3ax1＋1－a2，
＝ eq \f(a,3) x eq \\al(2,1) ＋2ax1＋1－a2＝ eq \f(a,3) (2ax1＋3a)＋2ax1＋1－a2＝( eq \f(2,3) a2＋2a)x1＋1，
同理f(x2)＝( eq \f(2,3) a2＋2a)x2＋1，
则过点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线方程为y＝( eq \f(2,3) a2＋2a)x＋1.(7分)
由题意知( eq \f(2,3) a2＋2a)x＋1＜x·ex－ln x＋x，对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
等价于 eq \f(2,3) a2＋2a＜ eq \f(x·ex－ln x＋x－1,x) ，对任意x∈(0，＋∞)恒成立．
先证：ex≥x＋1，当且仅当x＝0时成立．
令g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以当且仅当x＝0时，g(x)的最小值为g(0)＝0，
所以 eq \f(ex＋ln x－ln x＋x－1,x) ≥ eq \f(x＋ln x＋1－ln x＋x－1,x) ＝2，当且仅当x＋ln x＝0时取等号，
令t(x)＝x＋ln x，t(1)＝1＞0，t( eq \f(1,e) )＝ eq \f(1,e) －1＜0，t(x)的图象是连续不间断的，
所以存在x0∈( eq \f(1,e) ，1)，使x0＋ln x0＝0，所以 eq \f(ex＋ln x－ln x＋x－1,x) 的最小值为2.(10分)
所以 eq \f(2,3) a2＋2a＜2，因为a＞0或a＜－3，
所以实数a的取值范围是(0， eq \f(\r(21)－3,2) )∪( eq \f(－\r(21)－3,2) ，－3).(12分)x/吨
3
4
5
6
y/吨标准煤
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
P
eq \f(2,7)
eq \f(4,7)
eq \f(1,7)
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减