初中数学15.3 分式方程教学设计

这是一份初中数学15.3 分式方程教学设计，共25页。


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学校的进度
在学校的学习哪里感觉比较吃力
知识导图
课首小测
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年广州市海珠区期末考试） 把分式方程化为整式方程，得（）
A．x+2=2x（x+2）B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2）D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
【参考答案】B
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年玉林一模考试） 2014年12月26日，南宁至广州高速铁路开始运行，从南宁到广州，乘空调快车的行程为872km，高铁开通后，高铁列车的行程约为580km，运行时间比空调快车时间 少了8h．若高铁列车的平均速度是空调快车的2.5倍，求高铁列车的平均速度．设空调快车平均速度为xkm/h，则根据题 意所列方程正确的是（）
A．B．C．D．
【参考答案】A
【题目解析】
解：设空调快车平均速度为x km/h，高铁列车的平均速度为2.5x km/h，
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
分式方程的解法、分式方程的实际应用
课型
一对一/一对N
教学目标
1、掌握解分式方程的方法和根的检验；
2、能利用分式方程解决行程问题、工程问题和经济类问题中的有关问题。
重、难点
1、分式方程的解法；
2、分式方程的实际应用。
由题意得， 故选A．
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2016年葫芦岛中考） A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）
A． = &ensp B． =C．D．
【参考答案】A
【题目解析】
解：设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，
∵A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，
∴ = ． 故选A．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周 三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为 ．
【参考答案】（x+2）（﹣0.5）=12．
【题目解析】
解：设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为：
（x+2）（﹣0.5）=12．
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年广州市花都区一模考试） 解方程：．
【参考答案】x=2
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 解方程：．
【参考答案】
解：去分母，得 3x(x-2)-2(x+2)=3(x+2)(x-2)． 去括号，得 ．
整理，得．
解得．
检验：当x=1时，（x+2）（x－2）=－3≠0
∴x=1是原分式方程的解．
导学一 ： 分式方程的定义
知识点讲解 1：
分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的重要特征是：①含分母；②分母里含未知数。
例题
[单选题] [分式方程的定义] [难度： ★★ ] 在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【参考答案】B
【题目解析】
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解：①、②、⑥ 的分母中不含有未知数，它们是整式方程，不是分式方程；③、④、⑤的分母中含未知数x，故是分式方程．
[分式方程的定义] [难度： ★★ ] 在关于x的方程：①，②，③ ，④ ，
⑤ ，⑥ 中， 是整式方程， 是分式方程．
【参考答案】②③④⑥；①⑤
导学二 ： 分式方程的解法
知识点讲解 1：分式方程的解法
1、解分式方程的思想和方法
2、解分式方程的一般步骤：
去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
解这个整式方程，得出整式方程的根；
验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）检验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
写出分式方程的根。
例题
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年武汉中考） 解方程：．
【参考答案】x=6
【题目解析】
解：方程两边同乘x（x-2），得：2x=3(x-2) 解得x=6
检验：当x=6时，x（x-2）=24≠0
∴x=6是原分式方程的解
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2014年广州市越秀区期末考试） 解分式方程：．
【参考答案】无解
【题目解析】
解：方程两边同乘x（x-2）得， x2=4+ x（x-2） 解得x=2
检验：当x=2时，x(x-2)=0
∴原分式方程无解
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年广州市越秀区期末考试） 解分式方程：﹣1= ．
【参考答案】无解
【题目解析】
解：去分母得：
（x﹣3）x﹣（x+3）（x﹣3）=18， 整理得：﹣3x+9=18，
解得：x=﹣3，
检验：当x=﹣3时，（x+3）（x﹣3）=0，故此方程无实数根．
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[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣ ．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（
）
A． B． C． D．
【参考答案】A
【题目解析】
解：∵2⊕（2x﹣1）=1，
∴；
去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1）， 解得x= ，
检验：当x= 时，2（2x﹣1）≠0，
故分式方程的解为x= ．
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年临淄市中考） 方程的解为（） A．x=2B．x=3C．x=4D．无解
【参考答案】D
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年广州市黄埔区一模考试） 解分式方程：．
【参考答案】x=3
【题目解析】
解：方程两边同乘x(x-2)，得3（x-2）=x
解得：x=3
检验：当x=3时，x（x-2）=3≠0
∴ x=3是原分式方程的解
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年宿迁中考） 解方程：．
【参考答案】无解
【题目解析】
解：方程两边同乘（x-2），得： 1=－（1－x）－3（x－2）
解得x=2
检验：当x=2时，x－2=0
∴原分式方程无解
知识点讲解 2
分式方程的解：能使分式方程成立的未知数的值称为分式方程的解。注意：当未知数的值使得分式方程中的分母为0时，分式方程无解。例题
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 若x=5是分式方程的根，则（） A．a=﹣5B．a=5C．a=﹣9D．a=9
【参考答案】D
【题目解析】
解：把x=5代入原方程得：
【学有所获】
解得：a=9
遇到“x=n为方程的解”此类题目，把未知数x的值 ，解出便可。
[学有所获答案]代入原方程
[分式方程的解] [难度： ★★ ] （2014年广州市海珠区期末考试） 已知关于x的方程
，
当m满足什么条件时，方程的解为正数？
【参考答案】解：去分母，得m=x（x－2）－（x－1）（x＋1） 解得，
由题得，
解得：m＜1，
又∵x=－1或x=2时，原分式方程无解，
∴且，
【题目解析】
【思维对话】
∴m≠3且m≠－3，综上可得m＜1且m≠－3。
解：去分母，得m=x（x－2）－（x－1）（x＋1） 解得，
由题得，
解得：m＜1，
又∵x=－1或x=2时，原分式方程无解，
∴ 且 ，
∴m≠3且m≠－3，综上可得m＜1且m≠－3。
常见思维障碍点：①学生分不清楚何为未知数，何为常数；
②学生不会计算含有参数的方程；
③学生容易忘记最后结果的检验思维障碍点突破方法：
注意题目中“关于…的方程”等字眼，从而确定未知数；
可先把题目中的待定参数变成数字，让学生计算，接下来再引导学生解本题，从而归纳出此类题型的解法便是“把题目中的参数a当成数字去解题的思想”；
要在讲解过程中引导学生养成“遇到分式方程必须检验”的解题习惯。
【学有所获】
遇到此类题目，把 解方式方程，最后方程的解是 ；
根据题意列出关于参数的方程或不等式，解出参数的值或取值范围；
要注意最后结果的 。
[学有所获答案]
（1）参数当数字；含参数的代数式
（3）检验
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 若关于x的方程无解，试确定a的值．
【参考答案】a=1或a=2
【题目解析】
解：去分母，得：ax=x－2＋4 解得：
当a=1时，无解，故原分式方程无解；
当x=2，即时，最简公分母x－2=0，此时原分式方程无解，
∴a=1或a=2时，原分式方程无解。
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[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 若关于x的方程的解为x=4，则m=（）
A．3B．4C．5D．6
【参考答案】A
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 关于x的分式方程的解为正数，则字母a的取值范围为（） A．a≥－1B．a＞－1C．a≤－1D．a＜－1
【参考答案】B
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] （2016年凉山州市中考） 关于x的方程无解，则m的值为（）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
【参考答案】A
【题目解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1， 代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，
解得：m=﹣5， 故选A
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] （2016年贺州市中考） 若关于x的分式方程的解为非负数，
则a的取值范围是（）
A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4
【参考答案】C
【题目解析】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2， 解得：x=，
由题意得：≥0且 ≠2， 解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
导学三 ： 分式方程的应用
知识点讲解 1： 行程问题
行程问题有关等量关系：路程=速度×时间时间=路程÷速度
速度=路程÷时间注意：1、要注意单位的统一；
2、速度快的一方用时少。
例题
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2016年） 穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速 度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】B
【题目解析】解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h， 根据题意，可得： ，
故选：B．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市中考） 从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
求普通列车的行驶路程；
若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所 需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【参考答案】
解：（1）根据题意得：
400×1.3=520（千米），
答：普通列车的行驶路程是520千米；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据题意得：
，
【思维对话】
【学有所获】
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时）， 答：高铁的平均速度是300千米/时．
常见思维障碍点：①学生不熟悉行程问题中“路程、速度与时间”的关系；
②学生不会用方程表示题目中的时间差；
③学生分不清楚速度快、慢用时长短的关系；
④学生容易忘记检验。思维障碍点突破方法：
让学生列出路程、速度与时间三者之间的等量关系及各种变式；
引导学生根据题意设未知数；
引导学生用列表法把题目中关键的等量关系列出来，如：
举具体数量的问题，引导学生得出速度快的一方用时少，再根据题意列出两张列车所用时间的方程；
强调分式方程实际应用题必须检验。
行程问题，首先要熟悉基本等量关系：时间= ；速度= ；路程
= ；
用 把速度、时间、路程表示出来；
根据题意列方程，注意 。
[学有所获答案]
路程÷速度；路程÷时间；速度×时间
列表法
检验和作答
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3km， 王老师家到学校的路程为0.5km，由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接 小明上学，已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑 自行车的速度各是多少km/h？
【参考答案】王老师的步行速度为5 km/h；骑自行车的速度为15 km/h.
【题目解析】
解：设王老师步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h，由题意得：
解得x=5，
经检验x=5为原分式方程的解，
∴王老师骑自行车的速度为：5×3=15（km/h/）
答：王老师的步行速度和骑自行车的速度分别为5 km/h和15 km/h。
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[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] 甲乙两地相距75千米，从甲地到乙地货车所用时间比小车所用时间多
15分钟，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确 的是().
A. B. C. D.
【参考答案】D
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）
A． B． C． D．
【参考答案】A
【题目解析】解：顺流时间为：；逆流时间为： ． 所列方程为：
故选A．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年广州市越秀区期末） 一辆汽车开往距离出发地320km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前30min到达目的地，求前 一小时的汽车行驶速度．
【参考答案】
【学有所获】
解：设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时．依题意得：
，
解得：x=80．
经检验：x=80是分式方程的解．
答：前一个小时的平均行驶速度为80千米/小时．
提前到的用时 ；
注意单位要 。
[学有所获答案]
少
统一
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．
求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）
当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？
【参考答案】（1）小轿车的速度为90km/h，大货车的速度为60km/h；（2）120千米
【题目解析】
解：（1）设大货车的速度为x km/h，则小轿车的速度为1.5x km/h，由题意得：
解得：x=60
经检验：x=60是原分式方程的解且符合题意，
∴ 1.5x=90
答：小轿车的速度为90km/h，大货车的速度为60km/h。
（2）由（1）得大货车的速度为60km/h，
∴ 180÷60=3（ 小 时 ） 60×（3-1）=120（千米）
答：小刘出发时，小张离娄底还有120千米。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年广州市番禺区期末） 为了“绿色出行”，减少雾霾，家住番禺在广州中心城区上班的王经理，上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行，已知王经理家距上班地点21千米，他用地铁方式平均每 小时出行的路程，比他用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，地铁出行所用时间 是自驾车方式所用时间的 ．求王经理地铁出行方式上班的平均速度．
【参考答案】解：设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm，则有：
， 解得：x=15，
经检验得：x=15是原方程的解，
则地铁速度为：15×2+5=35（km/h），
答：王经理地铁出行方式上班的平均速度为35km/h．
知识点讲解 2： 工程问题
工程问题有关等量关系：工作总量=工作效率×工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率工作效率=工作总量÷工作时间
注意：1、未知具体工作总量问题常常设工作总量为单位“1”；
2、注意单位的统一性
例题
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年东莞市中考） 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期 完成，问规定日期多少天？
【参考答案】
【思维对话】
解：设工作总量为单位“1”，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x天，乙队需（x+3）天，由题意得：
，
解方程可得x=6，
经检验x=6是分式方程的解． 答：规定日期是6天．
常见思维障碍点：
①学生不熟悉工程问题中“工作总量、工作时间与工作效率”之间的关系；
②学生对题目中的多个条件理解得不清晰；
③题目中是两者共同完成一项工程，学生难以用方程表示出两者的工作时间、工作总量间的等量关系； 思维障碍点突破方法：
让学生列出工作总量、工作效率和工作时间三者之间的等量关系及各种变式；
引导学生根据题意设未知数；
对于读题能力较弱或容易被题目中多个条件“绕晕”的学生，可以这样引导学生答题：
①先和学生一起读题，让他把他认为重要的字句在题目中标记出来， 询问学生：
（ ）这项工程中，你能告诉我甲、乙两队的工作效率分别是？甲队实际工作时间是？乙队的实际工作时间是？让学生思考，若学生回答不出来，老师应该适当地给予提示，尽量去引导学生把他自己可以得到 的条件都说出来；
（ ）工作总量= × ？
这样逐步引导学生用列表法把题目中关键的等量关系列出来，如：
【学有所获】
②列出表格后，可提问学生：甲队的工作量+乙队的工作量= ？
引导学生列出方程，并强调分式方程实际应用题必须检验。
工程问题，首先要熟悉基本等量关系：工作总量= ；工作时间
= ；工作效率= ；（填工作总量、工作时间、工作效率）
用 把速度、时间、路程表示出来；
根据题意列方程，注意要 。
[学有所获答案]
工作效率×工作时间；工作总量÷工作效率；工作总量÷工作时间
列表法
检验和作答
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市萝岗区期末） 某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务，由乙工程队接替，结果乙工程队做50天恰好完成任务，已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍，那么：
甲队单独做需要多少天才能完成任务？
若甲工程队先做x天后，由乙队接替，结果乙队再做y天数恰好完成任务，其中x、y都是正整数，且甲队做的时间不 超过15天，乙队做的时间不到70天，那么两队各做了多少天？
【参考答案】（1）40天；（2）甲队做了14天，乙队做了65天
【题目解析】
解：（1）设此工程工作总量为单位“1”，甲队单独做需要a天，则乙队单独做需要2.5a天，由题可得： ，
解得a=40，
经检验：a=40是原分式方程的解且符合题意， 答：甲队单独做需要40天才能完成任务。
，
∴
（2）由（1）可得甲队完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要100天，由题可得：
∵ y＜70
∴，
∴ x ≥12
∴12≤x≤15，又x为正整数，
∴x=12或13或14，
当x=12时，y=70，不合题意，舍去； 当x=13时，y不是正整数，舍去；
当x=14时，y=65，符合题意；
答：甲队做了14天，乙队做了65天。
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[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市黄埔区期末） 甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列 出方程正确的是（）
A． B. C. D.
【参考答案】B
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市白云区期末） 学校图书馆新购买了一批图书，管理员计划用若干个工作日完成这批图书的登记、归类与放置工作．管理员做了两个工作日，从第三日起，二（1）班陈浩同学作为志愿 者加盟此项工作，且陈浩与管理员工效相同，结果提前3天完成任务．求管理员计划完成此项工作的天数．
【参考答案】8天
【题目解析】
解：设管理员计划用x天完成此项工作，由题意得：
，
解得x=8，
经检验：x=8是分式方程的解且符合题意
答：管理员计划完成此项工作的天数为8天。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年广州市荔湾区期末） 甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机 器零件？
【参考答案】
解：设乙每小时加工机器零件x个，则甲每小时加工机器零件（x+10）个， 根据题意得：，
x+10=40+10=50．
答：甲每小时加工50个零件，乙每小时加工40个零件．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年梅州市中考） 某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成 面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安 排甲队工作多少天？
【参考答案】（1）甲队每天可完成绿化面积100 m2，乙队每天可完成绿化面积50 m2；（2）10天
【题目解析】
解：（1）乙队每天完成的绿化面积为x m2，则甲队每天完成的绿化面积为2x m2，由题可得： ，
解得x=50，
经检验：x=50是分式方程的解且符合题意，
∴ 2x=100
答：甲队每天可完成绿化面积100 m2，乙队每天可完成绿化面积50 m2。
（2）设至少安排甲队工作y天，由题可得：
， 解得y≥10，
答：至少要安排甲队工作10天。
知识点讲解 3： 经济类问题
经济类问题有关等量关系：进货数量=进货成本÷进价总利润=（售价－进价）×销售量；
利润率= ×100%．
例题
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市期末区期末） 春节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价 多了10元。
求第一批玩具每套的进价是多少元？
如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
【参考答案】
解：（1）设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为（x+10）元，由题意得：
，
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年台州市中考） 某商店第一次用600元购进某品牌的笔记本若干本，第二次又用600元购进同样品牌的笔记本，但这次每本的进价是第一次的 ，购进数量比第一次少了30本．
求第一次每本笔记本的进价是多少元？
商店以同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每本笔记本的售价至少多少元？
【参考答案】（1）4元；（2）6元
【题目解析】
解：（1）设第一次每本笔记本的进价为x元，则第二次每本笔记本的进价为 元，由题可得； 根据题意得，，
解得x=4，经检验x=4是原方程的解． 答：第一次每本笔记本的进价为4元；
（2）第一次买进笔记本150本，第二次买进笔记本120本，共270本． 设 每 本 笔 记 本 的 售 价 为 y 元 ， 根 据 题 意 得 ， 270y﹣600×2≥420，∴y≥6，
答：每本笔记本的售价至少为6元．
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[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年曲靖市一模） 今年是扬州城庆2500周年，东关历史街区某商铺用3000
元批发某种城庆旅游纪念品销售，由于销售状况良好，该商铺又筹集9000元资金再次批进该种纪念品，但这次的进价比 第一次的进价提高了20%，购进的纪念品数量是第一次的2倍还多300个，如果商铺按9元/个的价格出售，当大部分纪念品 售出后，余下的600个按售价的8折售完．
该种纪念品第一次的进货单价是多少元？
该商铺销售这种纪念品共盈利多少元？
【参考答案】（1）5元；（2）5820元
解：（1）设该种纪念品第一次的进货单价是x元，则第二次进货单价是（1+20%）x元， 由题意，得，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种纪念品第一次的进货单价是5元；
（2）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：商铺销售这种纪念品共盈利5820元．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 上海世博会开馆前，某礼品经销商预测甲、乙两种礼品能够畅销，用16500元购进了甲种礼品，用44000元购进了乙种礼品，由于乙种礼品的单价是甲种礼品单价的4倍，实际购得甲种礼品的数量比乙 种礼品的数量多100个．
求购进甲、乙两种礼品的单价各多少元？
如果要求每件商品在销售时的利润为20%，那么甲、乙两种礼品每件的售价各是多少元？
在（2）的条件下，如果甲种礼品的进价降低了，但售价保持不变，从而使销售甲种礼品的利润率提高了5%，那么 此时每个甲种礼品的进价是多少元？（直接写出结果）（利润=售价﹣进价，利润率=×100%．）
【参考答案】（1）甲、乙两种礼品的单价分别为55元和220元；（2）甲、乙两种礼品的售价分别为66元和264元；
（3）52.8元
【题目解析】
解：（1）设购进甲种礼品的单价为x元，则购进乙种礼品的单价为4x元， 由题意得： ，
解这个方程，得：x=55，
经检验，x=55是所列方程的根．4x=220．
所以购进甲、乙两种礼品的单价分别为55元和220元．
（2）∵55×20%=11，220×20%=44，
∴55+11=66（元），220+44=264（元），
所以甲、乙两种礼品的售价分别为66元和264元．
设每个甲种礼品的进价是x元，根据题意得出：
x（1+25%）=66，解得：x=52.8，
答：此时每个甲种礼品的进价是52.8元．
限时考场模拟 ：
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是()
A．2＋x＝x－1B．2－x＝1C．2＋x＝1－xD．2－x＝x－1
【参考答案】D
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2014年广州市天河区期末）“十一”期间，几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为元，出发时又增加了两名同学，结果只能包租较大的中巴车，租价为 元，但原先几位同学并没有增加平摊车费.设参加游览的同学共 人，则所列方程正确的是
A． B． C．D．
【参考答案】D
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 分式方程的解是 ．
【参考答案】x=1
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 若关于x的方程无解，则a的值是 ．
【参考答案】1或2
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 解方程：．
【参考答案】x=3
[分式方程的解] [难度： ★★ ]解方程：
【参考答案】
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 某公司研发900件新产品，需要精加工后才能投放市场.现在甲、乙两个工厂加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用9天，而乙工厂每天加工的件数是甲工 厂每天加工件数的1.25倍，公司需要付甲工厂加工费用每天100元，乙工厂加工费用每天125元.
甲、乙两个工厂每天各加工多少件新产品；
两个工厂同时共同加工完成这批产品，共需付加工费多少元？
【参考答案】（1）甲工厂每天加工新产品20件，乙工厂每天加工新产品25件；（2）4500元
【题目解析】
解：（1）甲工厂每天加工新产品x件，则乙工厂每天加工新产品1.25x件，由题意得：
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解且符合题意，
∴ 1.25x=25
答：甲工厂每天加工新产品20件，乙工厂每天加工新产品25件。
（2）900÷（20+25）=20（天）
（100+125）×20=4500（元）
答：两个工厂同时共同加工完成这批产品，共需付加工费4500元。
课后作业
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] （2015年路南区一模考试） 分式方程的解为（）
－2B. 2C. 0D. 无解
【参考答案】D
[单选题] [分式方程的解] [难度： ★★ ] 关于的分式方程的解是正数，则a的取值范围是（） A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠0C．a＜﹣1D．a＜﹣1且a≠﹣2
【参考答案】D
[单选题] [分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年深圳市中考） A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/ 时，则可列方程（）
A． B． C． D．
【参考答案】A
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 若代数式和 的值相等，则x= ．
【参考答案】x=7
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 若关于x的分式方程 的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．
【参考答案】a＞1且a≠2
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 解方程：．
【参考答案】
[解分式方程] [难度： ★★ ] 解分式方程：.
【参考答案】a=－2
[分式方程的解] [难度： ★★ ] 当x为何值时，分式的值比分式的值大3？
【参考答案】
解：由题意得：
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 雅安地震发生后，红星中学的师生立刻行动起来，为灾区开展了捐款活动.统计显示全校教师共为灾区捐款10800元，全校学生共为灾区捐款54000元.已知学生的人数是教师人数的10倍，教师人均捐款 比学生人均捐款多60元.试求红星中学共有师生多少名？
【参考答案】教师90人，学生900人
【题目解析】
解：设红星中学教师人数为x人，则学生人数为10x人，由题意得：
， 解得：x=90，
经检验：x=90是分式方程的解，
∴10x=900
答：红星中学共有教师90人，学生900人。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年广州市海珠区期末考试） 某厂准备加工700个零件，在加工完毕200个零件以后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天生产多少个零件？
【参考答案】解：设该厂原来每天加工x个零件，采取了新技术后每天加工2x个零件，根据题意得：
解得：x=50，
经检验得x=50是原方程的解，
答：该厂原来每天加工50个零件．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分钟时间，问前后两种收费标准每分钟收费各是多少？
【参考答案】原收费标准为0.4元/分钟，新收费标准为0.3元/分钟
【题目解析】
解：设原收费标准为x元/分钟，则新收费标准为（1－25%）x 元/分钟，由题意得：
，
解得：x=0.4，
经检验：x=0.4是分式方程的解，
∴（1-25%）x=0.3
答：原收费标准为0.4元/分钟，新收费标准为0.3元/分钟。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年宁波中考） 宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵。
A，B两种花木的数量分别是多少棵？
如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木 和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【参考答案】（1）A种花木有4200棵，B种花木有2400棵；（2）安排14人种植A种花木，12人种植B种花木
【题目解析】
解得：
解：（1）设有a棵A种花木，有b棵B种花木，由题意得：
答：A种花木有4200棵，B种花木有2400棵。
（2）设安排x人种植A花木，则安排（26－x）人种植B花木，由题意得：
，
解得：x=14，
经检验：x=14是分式方程的解，
∴26-x=12
答：应安排14人种植A种花木，12人种植B种花木。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任 务.
王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？
学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
【参考答案】（1）80分钟；（2）至少要工作25分钟
【题目解析】
解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，由题意得：
，
解得：x=80，
经检验：x=80是分式方程的解，
答：王师傅单独整理完这批实验器材需要80分钟。
（2）设李老师工作了y分钟，由题可得：
， 解得：y≥25，
答：李老师至少要工作25分钟。
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] （2015年朝阳区一模考试） 列方程或方程组解应用题：
为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高 铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？
【参考答案】180千米/时
【题目解析】
解：设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时． 由题意，得，
解得x=180．
经检验，x=180是原方程的解，且符合题意． 答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．
[分式方程的应用] [难度： ★★ ] 烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下 的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹 果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
苹果进价为每千克多少元？
乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
【参考答案】（1）每千克5元；（2）乙超市获利1650元，甲超市销售方案更合算
【题目解析】
解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得： 400x+10%x（ ﹣400）=2100，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解， 答：苹果进价为每千克5元．
（2）由（1）得，每个超市苹果总量为：=600（千克），
大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
则乙超市获利600×（ ﹣5）=1650（元），
∵甲超市获利2100元，
∵2100＞1650，
∴甲超市销售方案更合算．
1、课后要按时完成作业，完成错题的收集与复习；
2、复习分式方程实际应用几大类型的有关等量关系；
3、调整心态，做好期末复习准备。