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高中数学高考解密03 函数及其性质（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练
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这是一份高中数学高考解密03 函数及其性质（分层训练）（解析版）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练，共22页。试卷主要包含了设函数，则f，函数在的图像大致为，函数的图像大致为，=有如下四个命题，函数f＝x是等内容，欢迎下载使用。
1．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
2．（2019·全国高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
3．（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
4．（2019·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
5．（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
6．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
7．（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
1．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为，所以解得，所以函数的定义域为，
所以函数需满足且，解得且，
故选：D.
2．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
∵，∴，
即函数的值域为，值域跨度为2；
∵，
∴的值域为，值域跨度为；
∵，
∴函数的值域为，值域跨度为2；
∵，值域跨度为2；
故选：B.
3．（2020·四川成都市·高三一模（理））设，，，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
， ；
，；
，；
故，
故选：C
4．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，令，则，
而，所以时，即在上单调递增，
∴，即，
故选：A
5．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数D．在上为增函数
【答案】B
【详解】
由是定义在上的奇函数，则
所以，则函数的图像关于直线对称.
又，则
所以函数为周期函数， 4为函数的一个周期.
所以的对称轴方程为：，不满足，故A不正确.
由是定义在上的奇函数,则图像关于点成中心对称.
所以的对称中心满足：，所以是函数的一个对称中心，故B正确.
由且时，都有，
则，即
所以在上为增函数, 由是定义在上的奇函数
所以在上为增函数，且，所以在上为增函数
由的图像关于直线对称，所以在上为减函数，
又4为函数的一个周期.
则在上单调递增，在上单调递减.
所以在上为增函数，故C不正确.
在上为增函数,在为减函数，故D不正确.
故选：B
6．（2020·广东高三一模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，
其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，D.
故选：B．
7．（2020·河南开封市·高三一模（理））某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
A选项，，
则，
所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；
又当时，，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确；
B选项，当时，，，所以，不满足题意；排除B；
C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C；
D选项，因为，所以，则，不满足题意，排除D；
故选：A.
8．（2020·广西高三其他模拟（理））设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
构造函数，因为，
∴，
∴为奇函数，
当时，， 在上单调递减，
∴在R上单调递减.
∵存在，所以，
∴，化简得，
∴，即.
故选：D
9．（2020·运城市景胜中学（理））已知函数，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由，，
可知在时恒成立，
故即或，
根据分段函数的性质可知，，解可得，.
故选：C.
10．（2020·北京高三二模）函数f(x)＝x是（ ）
A．奇函数，且值域为（0，+∞）
B．奇函数，且值域为R
C．偶函数，且值域为（0，+∞）
D．偶函数，且值域为R
【答案】B
【详解】
根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，
其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其图象大致如图：
其值域为R；
故选：B.
11．（2020·福建漳州市·高三其他模拟（理））已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：
①的一个周期是； ②是非奇非偶函数；
③在单调递减； ④的最大值大于．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．②④C．①③D．①②
【答案】A
【详解】
因为，
所以的一个周期是，①正确；
又，④正确；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；
当时，，，所以，所以，所以③错误；
综上所以正确的结论的序号是①②④，
故选：A．
12．（2020·四川凉山彝族自治州·高三一模（理））定义在上的函数满足.当时，，则不等式的解集用区间表示为______.
【答案】
【详解】
因为且的定义域为关于原点对称，所以为奇函数，
当时，，所以，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
13．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：
①存在实数，使得函数为奇函数；
②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；
③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；
④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点.
其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【详解】
令，
函数的定义域为，则，
所以，函数为偶函数.
对于①，若，则，则，此时，函数不是奇函数；
若，则函数的定义域为且，，
，显然.
综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；
对于②，，
所以，函数关于直线对称.
因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，②正确；
对于③，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，当时，两个等号可以同时成立，所以，.
因此，实数的取值范围是，③正确；
对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有个交点，
若，当时，，
此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
当时，；
当时，任取、，且，即，
则
，
，随着、的增大而增大，
当且时，；
当且时，.
所以，存在，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递增，
所以，当时，.
若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，
即直线与函数的图象有个交点，
由于函数的图象关于直线对称，
则直线与函数在直线右侧的图象有个交点，
所以，.
由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，
所以，不可能恒成立，
所以，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点；
同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，故命题④错误.
故答案为：②③.
14．（2020·上海高三一模）设，则不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】
由题意，函数，
根据初等函数的性质，可得函数为单调递减函数，且，
则不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知函数是定义域在上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【详解】
因为为奇函数，
所以，
则，
则，
所以，
．
故答案为：.
16．（2020·全国高三专题练习）已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．
【答案】18
【详解】
函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .
故答案为18
1．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
2．（2019·全国高考真题（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
3．（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
4．（2019·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
5．（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
6．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
7．（2019·全国高考真题（理））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
1．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为，所以解得，所以函数的定义域为，
所以函数需满足且，解得且，
故选：D.
2．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
∵，∴，
即函数的值域为，值域跨度为2；
∵，
∴的值域为，值域跨度为；
∵，
∴函数的值域为，值域跨度为2；
∵，值域跨度为2；
故选：B.
3．（2020·四川成都市·高三一模（理））设，，，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
， ；
，；
，；
故，
故选：C
4．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知实数，，，(e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，令，则，
而，所以时，即在上单调递增，
∴，即，
故选：A
5．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称
C．在上为减函数D．在上为增函数
【答案】B
【详解】
由是定义在上的奇函数，则
所以，则函数的图像关于直线对称.
又，则
所以函数为周期函数， 4为函数的一个周期.
所以的对称轴方程为：，不满足，故A不正确.
由是定义在上的奇函数,则图像关于点成中心对称.
所以的对称中心满足：，所以是函数的一个对称中心，故B正确.
由且时，都有，
则，即
所以在上为增函数, 由是定义在上的奇函数
所以在上为增函数，且，所以在上为增函数
由的图像关于直线对称，所以在上为减函数，
又4为函数的一个周期.
则在上单调递增，在上单调递减.
所以在上为增函数，故C不正确.
在上为增函数,在为减函数，故D不正确.
故选：B
6．（2020·广东高三一模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，
其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，D.
故选：B．
7．（2020·河南开封市·高三一模（理））某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
A选项，，
则，
所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；
又当时，，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确；
B选项，当时，，，所以，不满足题意；排除B；
C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C；
D选项，因为，所以，则，不满足题意，排除D；
故选：A.
8．（2020·广西高三其他模拟（理））设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
构造函数，因为，
∴，
∴为奇函数，
当时，， 在上单调递减，
∴在R上单调递减.
∵存在，所以，
∴，化简得，
∴，即.
故选：D
9．（2020·运城市景胜中学（理））已知函数，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由，，
可知在时恒成立，
故即或，
根据分段函数的性质可知，，解可得，.
故选：C.
10．（2020·北京高三二模）函数f(x)＝x是（ ）
A．奇函数，且值域为（0，+∞）
B．奇函数，且值域为R
C．偶函数，且值域为（0，+∞）
D．偶函数，且值域为R
【答案】B
【详解】
根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数，
其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；
其图象大致如图：
其值域为R；
故选：B.
11．（2020·福建漳州市·高三其他模拟（理））已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：
①的一个周期是； ②是非奇非偶函数；
③在单调递减； ④的最大值大于．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．②④C．①③D．①②
【答案】A
【详解】
因为，
所以的一个周期是，①正确；
又，④正确；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；
当时，，，所以，所以，所以③错误；
综上所以正确的结论的序号是①②④，
故选：A．
12．（2020·四川凉山彝族自治州·高三一模（理））定义在上的函数满足.当时，，则不等式的解集用区间表示为______.
【答案】
【详解】
因为且的定义域为关于原点对称，所以为奇函数，
当时，，所以，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
13．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：
①存在实数，使得函数为奇函数；
②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；
③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；
④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点.
其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【详解】
令，
函数的定义域为，则，
所以，函数为偶函数.
对于①，若，则，则，此时，函数不是奇函数；
若，则函数的定义域为且，，
，显然.
综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；
对于②，，
所以，函数关于直线对称.
因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，②正确；
对于③，，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，当时，两个等号可以同时成立，所以，.
因此，实数的取值范围是，③正确；
对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有个交点，
若，当时，，
此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
当时，；
当时，任取、，且，即，
则
，
，随着、的增大而增大，
当且时，；
当且时，.
所以，存在，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递增，
所以，当时，.
若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，
即直线与函数的图象有个交点，
由于函数的图象关于直线对称，
则直线与函数在直线右侧的图象有个交点，
所以，.
由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，
所以，不可能恒成立，
所以，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点；
同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，故命题④错误.
故答案为：②③.
14．（2020·上海高三一模）设，则不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】
由题意，函数，
根据初等函数的性质，可得函数为单调递减函数，且，
则不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知函数是定义域在上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【详解】
因为为奇函数，
所以，
则，
则，
所以，
．
故答案为：.
16．（2020·全国高三专题练习）已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．
【答案】18
【详解】
函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .
故答案为18
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