高中数学高考解密03 函数及其性质（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义+分层训练(1)

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考点一 函数的定义域与值域
题组一求函数的定义域
调研1 函数的定义域为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知，解得，故选A．
调研2函数的定义域为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数满足，解得或，
所以函数的定义域为.故选B．
☆技巧点拨☆
求函数的定义域
求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．
对于抽象函数，
（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
（2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
题组二求函数的值域
调研3函数的值域为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，由于，故，所以函数的值域为.故选D．
调研4函数的最大值为,最小值为,则
A．2B．3
C．6D．12
【答案】C
【解析】函数的定义域为,得,得,则时，y取得最大值或时,取得最小值.
故,故选C．
☆技巧点拨☆
求函数值域的常用方法
求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域；
⑤利用常见函数的值域；
⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域；
⑦单调性法；
⑧基本不等式法；
⑨判别式法；
⑩导数法.
题组三由函数的值域求参
调研5设函数的值域为，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为a,所以则.
考点二 分段函数
题组一求函数值
调研1 设，则的值为
A．11B．10
C．9D．8
【答案】D
【解析】由题意，函数，
则.
故选：D．
题组二由函数值求参
调研2设函数，若，则__________．
【答案】-3或-2
【解析】由题意得，故可得．
①当时，可得，即，解得或（舍去）．
②当时，可得，即，解得或（舍去）．
综上，可得或．
☆技巧点拨☆
解决分段函数问题的注意事项
分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.
考点三 函数的图象
题组一函数图象的辨识
调研1 函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选：D.
【名师点睛】识图常用的方法：
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
☆技巧点拨☆
函数图象的识别与判断技巧
1．方法1：特殊点法
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．
2．方法2：性质检验法
已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．
3．方法3：导数法
判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．方法4：图象变换法
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．
题组二函数图象的应用
调研2已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易知函数的图象关于轴对称,则函数为偶函数,故排除选项B,
又,故排除选项D,
又,故排除选项C.故选A．
考点四 函数的性质
题组一函数的单调性
调研1 函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得
∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是
调研2 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
故选A．
题组二函数的奇偶性和周期性
调研3已知函数f(x)＝eq \f(2×4x－a,2x)的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则lgab＝
A．1 B．－1
C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,4)
【答案】B
【解析】由题意得f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(eq \f(1,e)＋1)＋b，∴b＝eq \f(1,2)，
∴lg2eq \f(1,2)＝－1.故选B．
调研4设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为的周期为2，所以；
又是奇函数，所以，
所以，故选B．
题组三函数性质的综合应用
调研5已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为奇函数在上单调递减,且,所以函数在上单调递减,且,
由得或,解得或,即不等式的解集为.故填.
调研6函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是
A．f(1)C．f(eq \f(7,2))【答案】B
【解析】因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，
又因为函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2,4]上单调递减．
因为f(1)＝f(3)，eq \f(7,2)>3>eq \f(5,2)，所以f(eq \f(7,2))☆技巧点拨☆
将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：
1．判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
2．函数的奇偶性
(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
考点五 指数函数、对数函数、幂函数
题组一指数函数
调研1 已知函数的定义域和值域都是,则 .
【答案】4
【解析】当时,单调递减,
此时,解得,即;
当时,单调递增,此时,无解.
所以.
题组二对数函数
调研2已知,则
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】,即.
又=,所以.选B．
题组三幂函数与二次函数
调研3已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________．
【答案】1
【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.
调研4已知（）.
（1）若，且的解集为，求函数的解析式；
（2）若关于x的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由的解集为可知且.
则.
（2）的解集为R.
当时，满足题意；
当时，由.
综上，.
☆技巧点拨☆
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
函数的定义域与值域
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.
本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质.
分段函数
函数的图象
2019课标全国Ⅰ5
2019课标全国II 7
2018课标全国Ⅰ12
2018课标全国Ⅲ 7
★★★★
函数的性质
2020课标全国Ⅰ8
2020课标全国Ⅱ 10
2018课标全国II 12
2020课标全国Ⅲ 10
2019课标全国Ⅲ 12
★★★★★