高考数学真题与模拟训练汇编专题01 集合与常用逻辑用语(教师版)

专题1 集合与常用逻辑用语

第一部分 真题分类

一、单选题

1．（2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

2．（2021·北京高考真题）已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，即.

故选：B.

3．（2021·浙江高考真题）设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由交集的定义结合题意可得：.

故选：D.

4．（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

5．（2021·全国高考真题（文））设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故，

故选：B.

6．（2021·全国高考真题（理））设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以,

故选：B.

7．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】由题，当数列为时，满足，

但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

8．（2021·全国高考真题（理））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

9．（2021·全国高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于，所以命题为真命题；

由于，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

10．（2021·全国高考真题（文））已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：，则.

故选：A.

11．（2021·全国高考真题）设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设有，

故选：B .

12．（2020·全国高考真题（理））已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）

A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】由题意可得：，则.

故选：A.

13．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

14．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

15．（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT

②对于任意x，yT，若x<y，则S；

下列命题正确的是（    ）

A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素

D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素

【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；

若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；

若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；

下面来说明选项A的正确性：

设集合，且，，

则，且，则，

同理，，，，，

若，则，则，故即，

又，故，所以，

故，此时，故，矛盾，舍.

若，则，故即，

又，故，所以，

故，此时.

若， 则，故，故，

即，故，

此时即中有7个元素.

故A正确.

故选：A.

16．（2020·海南高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【解析】

故选：C

17．（2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

18．（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

二、填空题

19．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

20．（2019·江苏高考真题）已知集合，，则_____.

【答案】.

【解析】由题知，.

三、解答题

21．已知等差数列的公差，数列满足，集合.

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有两个元素；

（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】（1），    ，，

，，，

由周期性可知，以为周期进行循环

（2），，

恰好有两个元素

或

即或

或

（3）由恰好有个元素可知：

当时，，集合，符合题意；

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故   

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故   

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故   

又，故

当时，如图取时，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故   

又，故

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或

若，即，不是整数，

若，即，不是整数，

故不符合条件；

综上：

22．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记

M（）=．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)

【解析】（Ⅰ），．

（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，

相应的分别为、、、，

所以中的每个元素应有奇数个，

所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：

、、、，

、、、，

对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，

所以集合、、、满足题意，

假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，

则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，

故中元素个数的最大值为．

（Ⅲ），

此时中有个元素，下证其为最大．

对于任意两个不同的元素，满足，

则，中相同位置上的数字不能同时为，

假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，

所以除外至少有个元素含有，

根据元素的互异性，至少存在一对，满足，

此时不满足题意，

故中最多有个元素.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．设非空集合满足：当时，有.给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】由定义设非空集合满足：当时，有，符合定义的参数的值一定大于等于，符合条件的的值一定大于等于0或小于等于1，

对于①若，，故必有，可得，故，故①正确；

对于②若，，则，解得，故②正确；

对于③若，则，可解得，故③正确.

①②③都为真命题，所以正确命题的个数是，

故选：D

2．已知直线是平面和平面的交线，异面直线，分别在平面和平面内.

命题：直线，中至多有一条与直线相交；

命题：直线，中至少有一条与直线相交；

命题：直线，都不与直线相交.

则下列命题中是真命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意直线是平面和平面的交线，异面直线，分别在平面和平面内，可知，

命题：直线，可以都与直线l相交，所以命题为假命题；

命题：若直线，都不与直线相交，则直线，都平行于直线，那么直线，平行，与题意，为异面直线矛盾，所以命题为真命题；

命题：直线，都不与直线相交，则直线，都平行于直线，那么直线，平行，与题意，为异面直线矛盾，所以命题为假命题；

由复合命题真假可知，对于A，为假命题，为假命题，所以为假命题，

对于B，为真命题，为假命题，所以为假命题，

对于C，为真命题，为真命题，所以为真命题，

对于D，为真命题，为假命题，所以为假命题，

综上可知，C为真命题，

故选：C.

3．下列命题中，不是真命题的是（   ）

A．命题“若，则”的逆命题.

B．“”是“且”的必要条件.

C．命题“若，则”的否命题.

D．“”是“”的充分不必要条件.

【答案】A

【解析】

命题“若，则”的逆命题为：若，则,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.

4．已知集合，,则=(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 ，

选A.

5．下列命题中错误的是（   ）

A．命题“若，则”的逆否命题是真命题

B．命题“”的否定是“”

C．若为真命题，则为真命题

D．已知，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】C

【解析】对于A，若x=y，则sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A正确；

对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；

对于C，若为真命题，则至少有一个是真命题，故不一定为真命题，故C错误；

对于D，充分性：当时，显然不成立，即充分性不具备；

必要性：因为，根据幂函数的单调性，显然，即必要性具备，故D正确.

故选C

6．下列叙述中正确的是(　　)

A．若，则“”的充分条件是“”

B．若，则“”的充要条件是“”

C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”

D．是一条直线，是两个不同的平面，若，则

【答案】D

【解析】当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.

7．下列有关命题的说法正确的是（   ）

A．，使得成立．

B．命题：任意，都有，则：存在，使得．

C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．

D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．

【答案】D

【解析】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.