高考数学真题与模拟训练汇编专题19 圆与方程(教师版)

专题19 圆与方程

第一部分 真题分类

1．（2021·北京高考真题）已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，弦长取得最小值为，解得.

故选：C.

2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

3．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

4.（2020·全国高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

5．（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D.

6．（2020·全国高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

7．（2021·全国高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【解析】圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

8．（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

【答案】ACD

【解析】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

9．（2020·海南高考真题）已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

10．（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【解析】设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

11．（2020·天津高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

12．（2020·浙江高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．

【答案】       

【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，

所以，所以（舍）或者，

解得.

13．（2019·浙江高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.

【答案】       

【解析】可知，把代入得，此时.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知圆，过点的动直线与圆相交于，两点，线段的中点为，则的轨迹的长度为（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】B

【解析】设点，

点是线段的中点，，

，，

即，化简得：，

所以点是以为圆心，为半径的圆，并且在圆的圆的内部，

如图，垂直平分，，，即，

的轨迹的长度为

故选：B

2．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆：的圆心为，半径，

设四边形的面积为，

由题设及圆的切线性质得，，

∵，

∴，

圆心到直线的距离为，

∴的最小值为，

则的最小值为，

故选：A

3．已知是曲线：上的点，是直线上的一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，，∴曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离， ，

所以的最小值为.

故选：D

4．过点向圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

即圆的圆心坐标为，半径为，

根据题意可得：，因此最小时，取得最小值；为使恒成立，只需，

又点在直线上，记点到直线的距离为，

则，所以，则，即实数的最大值为.

故选：D．

5．在平面直角坐标系中，点与动点满足，为直线：上的动点，则当取得最小值时，直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设动点，则由可得，

整理得，即动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.

过点且与直线的垂直的方程为，

与：联立，解得，

即当点的坐标为时，取得最小值，即取得最小值，

此时直线的方程为.

故选：A

6．已知直线：与圆：相交于不同两点，，位于直线异侧两点，都在圆上运动，则四边形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆：可以化为标准方程，

则其圆心为，半径，

则直线与圆心的距离，

故由勾股定理可得半弦长为，

所以.

又，两点位于直线异侧且都在圆上运动，

所以四边形的面积可以看作是和的面积之和，

则当为弦的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，

即四边形的面积最大，

最大面积.

故选：A.

二、填空题

7．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________．

【答案】

【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为．

由圆心在直线上，可设．

因为与轴相切，与圆外切，

于是圆的半径为，从而，解得．

因此，圆的标准方程为．

故答案为：

8．已知平面内非零向量，，，满足，，，若，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】，，，，

又，的夹角为，

建立如图所示直角坐标系，

设，则，，设，

，，

则点C在以为圆心，1为半径的圆上，

的取值范围转化为圆上的点到定点的距离的范围，

圆心到点的距离为，

的取值范围为.

故答案为：

9．已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的最大值为________

【答案】

【解析】设点，则

，

因为，所以，

整理得，即为点的轨迹方程为，

所以，故的最大值为.

故答案为：.