新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第16讲定点问题(教师版)

这是一份新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第16讲定点问题(教师版)，共15页。试卷主要包含了解决直线过定点问题的基本步骤，处理定点问题的技巧等内容，欢迎下载使用。
第16讲  定点问题 一．问题综述定点问题是常见的出题形式，解决这类问题的关键是引入变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。1、解决直线过定点问题的基本步骤：（1）设出直线，（2）借助韦达定理和已知条件找出与的一次函数关系式，（3）代入直线方程，得出定点。2、处理定点问题的技巧：（1）引进参数法，设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即所求的定点。（2）特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关。3、其中共线问题是解析几何中常见问题之一，解决此类问题常利用向量共线定理，可以从两方面入手（1）共线向量坐标交叉相乘相等（2）直线上任意两点的向量存在倍数关系下面总结圆锥曲线中几种常见的定点模型． 二．典例分析类型1：“手电筒”模型手电筒模型：限定AP与BP条件(如定值，定值，则直线AB过定点(因三条直线形似手电筒，故名曰“手电筒模型”）【例1-1】已知椭圆：函若直线：与椭圆相交于求两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点坐标．【解析】设，由得 以为直径的圆过椭圆的右顶点解得且满足，当时，：，直线过定点与已知矛盾．当时，：，直线过定点．综上可知：直线过定点【方法小结】本题为”弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(参考百度文库文章”圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)【例1-2】（2017全国Ⅰ理20）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线与直线的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设，则，.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，） 【方法小结】本题为手电筒模型中定值一个例子，由定值  得到k与m的一次关系，再代入直线方程，得到定点。类型2：切点弦恒过定点 【例2-1】过椭圆的右准线上任意一点引椭圆的两条切线，切点为（1）求证：直线恒过定点（2）略 【解析】有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆上一点处的切线方程为【解】（1）设则的方程为，点在上        ①  同理可得    ②由①②知的方程为，即       ③易知右焦点满足③   故直线恒过定点（2）略【例2-2】（2019全国Ⅲ文21）已知曲线：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线， 切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.【解】，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得 设，同理可得. 故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）略【方法小结】切点弦方程是指从圆锥曲线外一点可引两条切线，切点为，连接两个切点所得方程具有相同的推导方法。切点弦性质可以作为结论，在考试中可以借鉴本题的书写步骤。切点弦方程的推导简单，方程形式简洁，可以大大简化解题过程。 类型3：相交弦恒过定点【例3】如图，已知直线：，过椭圆：的右焦点，且交椭圆于两点，点A，B在直线：上的射影依次为点连接AE，BD，试探索当变化时，直线AE，BD是否交于一定点N？若交于N，求出N点的坐标，并证明，否则说明理由【解析】相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程需要思路清晰，同时注意总结这类问题的通法.【解法一】，先探索，当时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD交于定点，证明：设，当变化时首先AE过定点N即  又     而       A、N、E三点共线，同理B、N、D三点共线与相交于定点【解法二】本题也可以直接得出AE和BD的方程，令，得与轴交点M、N，然后两个坐标相减=0，计算量也不大。【方法小结】方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题的一类通法，但是需要注意解答的严谨。类型4：动圆恒过定点动圆恒过定点问题实质是垂直向量问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用 【例4-1】已知椭圆的离心率为，并且直线是抛物线的一条切线.（1）求椭圆的方程（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由【解】（1）由由直线与抛物线相切得故所求椭圆为（2）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为当与轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为由  即两圆的公共点为(0，1)因此所求点T如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下当与轴垂直时，以AB为直径的圆过T(0，1)当与轴不垂直时，设直线：由记点，则  又 即以AB为直径的圆恒过T，故在坐标平面上存在T(0，1)满足题意【例4-2】（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【方法小结】圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出定点，再证明向量数量积等于0. 三．巩固练习1．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点． 2．（2011山东）在平面直角坐标系中，已知椭圆：．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若（i）求证：直线过定点；（ii）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．        3．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，        （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．    4．（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．  5．（2016·浙江高二期中）已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．（1）若时，求以为直径圆的面积；（2）当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．     6.（2017·江西高考模拟（文））如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.  7．（2019·全国高三竞赛）如图，中心在坐标原点和焦点分别在轴、轴上的椭圆、均过点，且椭圆、的离心率均为。过点作两条斜率分别为、的直线，分别与椭圆、交于点、。当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。   8．已知曲线和都过点，且曲线的离心率为.（1）求曲线和曲线的方程；（2）设点，分别在曲线，上，，的斜率分别为，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.   【巩固练习参考答案】1．【解析】（1）设，，则，，．由得  ，．因为在上，所以．因此点的轨迹方程为．（2）由题意知．设，，则，，，，，由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 2．【解析】（Ⅰ）设直线，由题意，由方程组得，由题意，所以设，由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，因此此时所以OE所在直线方程为又由题设知D（－3，m），令=－3，得，即=1，所以当且仅当==1时上式等号成立，此时  由得因此  当时，取最小值2．（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由解得又，由距离公式及得由因此，直线的方程为所以，直线3．【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）由，解得．所以抛物线的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．因为，则，由得，故，故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得设，则当时，，可得直线的方程为，由，整理得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，所以。设直线的方程为，因为点在直线上故．设，直线的方程为由于，可得，代入抛物线的方程得所以，可求得，所以点到直线的距离为==则的面积，当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为．4．（Ⅰ）证明：设直线上任意一点关于直线对称点为，直线与直线的交点为，∴，，，，由得①，由，得②，由①②得，；（Ⅱ）设点，，由，得，可得或，即，由，可将换为，可得，，即直线：，可得 ，即为，则当变化时，直线过定点．5．试题分析：由直线方程得，由得故所求面积为．（2）根据两直线互相垂直设出直线AP，BP的方程，写出以MN为直径的圆的方程，令y=0得定点和．试题解析：（1）解析：当时，直线方程是，所以；直线方程是，所以，因此．所以以为直径圆的面积是．（2）解法1：设直线交轴于；同法可设直线交轴于，线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，令，得，则过定点和． 解法2：设，线段线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，考虑到，有，令，得，则过定点和．考点：直线与圆的综合应用．6.【解析】试题分析：（Ⅰ）可以设直线的方程为，再设直线上任意一点关于直线对称点为，于是分别表示出，由直线对称性可知， 所在直线与垂直，且中点在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本问考查椭圆中直线过定点问题，设，将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可以求出点N的坐标，根据M，N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.试题解析：（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为直线与直线的交点为，∴，由得……..①由得…….②，由①②得 . （Ⅱ）设点，由得，∴，∴. 同理： ， ，∴即： ∴当变化时，直线过定点.方法点睛：定点问题的探索与证明时一般考虑以下两种解法：（1）可以先设直线方程为，然后利用条件建立的等量关系进行消元，借助于直线系的思路找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.7.【详解】注意到，椭圆、的标准方程分别为；直线，由 .则点.内饰地，点.因为，所以，点.则.故直线过定点.8.（1）将点P坐标代入曲线即可求得r，得曲线的方程；将点P坐标代入曲线方程，结合椭圆离心率，即可求得曲线的标准方程。（2）设、和直线的方程、直线的方程，分别联立椭圆方程，用k表示出，求得直线AB的斜率，表示出AB的直线方程，进而求得过的定点坐标。【详解】（1）曲线和都过点∴，，曲线的方程为∵曲线的离心率为∴∴∴曲线的方程，（2）设，，直线的方程为，代入到，消去，可得，解得或，∴，直线的方程为，代入到程，消去，可得，解得或，，∵，∴直线的斜率，故直线的方程为，即，所以直线恒过定点