高中数学高考精品解析：【全国百强校】贵州省遵义航天高级中学2019届高三第五次模拟考试数学（理）试题（解析版）

高三第五次模拟考试试题

理科数学

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,,则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

因为，所以，应选答案B．

2.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（   ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．

【详解】复数＝2i+＝2i+1﹣i＝1+i,

则|z|＝．

故选C．

【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．

3.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数和为（   ）

A. 117 B. 118 C. 118．5 D. 119．5

【答案】B

【解析】

试题分析：极差为最大值和最小值之差98-56=42，中位数为由小到大排列后中间两项的平均数，所以极差与中位数之和为118

考点：茎叶图

4.设∈R，则a=1是直线与直线垂直的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

由两直线垂直等价于，即或，所以是直线与直线垂直是充分不必要条件，故选A.

5.设，，，则的大小关系是（ ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：因,则,故应选B.

考点：指数函数对数函数与幂函数的图象和性质的运用.

6.函数部分图象如图所示，其中A、B两点之间的距离为5，则 (   )

A. 2 B.  C.  D. -2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ值，再根据A、B两点之间距离为5，可求周期T，即可得ω值，从而得到函数解析式，即得f（﹣1）.

【详解】由函数图象过点（0，1）可得2sinφ＝1，sinφ＝，又，可得φ＝，

由图知A、B两点间的距离为，解得T＝6，

即T＝＝6，求得ω＝．

∴f（x）＝2sin（x+），

f（﹣1）＝2sin（﹣+）＝2，

故选A．

【点睛】本题考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．

7.执行如图所示的程序框图，若输入m=1,n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

当第一次执行，返回，第二次执行，返回，第三次，，要输出x,故满足判断框，此时，故选B.

点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题．属于中档题．处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.

8.已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是(　)

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线性约束条件作可行域，由z的几何意义可得z的取值范围.

【详解】由约束条件作出可行域如图，

的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，

由可行域可知，当取点B（0,2）时，连线斜率最大，所以的最大值为,

当取点A（1,1）时，连线斜率最小，所以的最小值为,

则取值范围是

故选C.

【点睛】线性规划中的最值,范围问题主要涉及三个类型：1.分式形式：与斜率有关的最值问题：表示定点P与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.3. 与距离有关的最值问题:表示定点P到可行域内的动点N(x,y)的距离．

9.在区间[﹣2，2]上随机取一个数b，若使直线y＝x+b与圆x2+y2＝a有交点的概率为，则a＝（　　）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

由直线与圆有交点可得，利用几何概型概率公式列方程求解即可.

【详解】因为直线与圆有交点，

所以圆心到直线的距离，，

又因为直线与圆有交点的概率为，

，故选B.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.

10.设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）

A. 20 B. 15 C. 9 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图形得出,,

,结合向量的数量积求解即可.

【详解】

因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,
根据图形可得:,
,
,
,
,
,
，
，
故选C.

本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.

考点：向量运算.

【此处有视频，请去附件查看】

11.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．

【详解】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．

则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，

这个几何体的外接球的半径．

则这个几何体的外接球的表面积为

故选A．

【点睛】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．

12.已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数m（    ）

A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】

求f（x）导数，利用导数的几何意义可得a和b的值，求g（x）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式即可得m的最值．

【详解】∵，∴，

∴，又点在直线上，

∴-1=2 +b+，∴b＝﹣1，

∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，g''（x）＝ex﹣2，

当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）＝e﹣2＞0，

∴g'（x）在[1，2]上单调递增，

∴g'（x）≥g（1）＝e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，

解得或e≤m≤e+1，

∴m的最大值为e+1，无最小值，

故选A.

【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．

二、填空题。

13.抛物线的焦点坐标为________

【答案】(0,)

【解析】

【分析】

化为标准方程求解.

【详解】抛物线标准方程时，

抛物线顶点在原点，对称轴是轴，开口向上，

所以抛物线的坐标为.

【点睛】本题考查抛物线的性质.

14.若，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知求得，再由万能公式求得．

【详解】由，得

，

即，

．

则．

故答案为．

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题．

15.设，则二项式的常数项是________．

【答案】240

【解析】

【分析】

先计算定积分求a，写出二项式的通项，令x指数为0，即可求得展开式中的常数项．

【详解】＝（x﹣x2）|＝﹣2，

∴二项式（x2﹣）6的通项为Tr+1＝，

令12﹣3r＝0，可得r＝4，

∴二项式（x2﹣）6的常数项是＝240．

故答案为：240．

【点睛】本题考查定积分知识，考查二项展开式和展开式中的特殊项问题，属于基础题．

16.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B. 则 |OA|+2|OB|=_____

【答案】3

【解析】

【分析】

利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|＝2a，转化为|AF1|﹣|AF2|＝2a，从而求得点A的横坐标即得到|OA|,在△F1CF2中，利用中位线定理得出|OB|，从而得到答案．

【详解】根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|＝|PB1|，|F1A1|＝|F1A|，|F2B1|＝|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|F1A|﹣|F2A|＝2a，而|F1A|+|F2A|＝2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|＝2a，得（x+c）﹣（c﹣x）＝2a，解得x＝a，

∴|OA|＝a，∴在△F1CF2中，OB＝CF1＝（PF1﹣PC）＝（PF1﹣PF2）＝＝a，

∴|OA|与|OB|的长度均为a,由双曲线方程可知，a=1,

∴|OA|+2|OB|=3a=3.

故答案为：3．

【点睛】本题考查双曲线定义及圆的切线长定理，以及三角形中位线在解题中的应用.

三、解答题

17.已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.

(1)求和的通项公式；  

(2)求数列{}的前n项和 .

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和

试题解析：（1）∵，∴当时，.

当时，.

∵时，满足上式，∴.

又∵，∴，解得：.

故，，.

（2）∵，，

∴①

②

由①-②得：

∴，.

考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和

【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和

18.时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为；2天以上且不超过3天还车的概率分别；两人租车时间都不会超过4天．

（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】

试题分析：（1）由甲所付租车费用大于乙所付租车费用知可分为乙租车2天与乙租车3天两种情况，由此能求出所求概率；（2）首先求得的所有可能取值，然后分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．

试题解析：（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，

当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为；

当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为；

则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为．．．．．．．．．．．．5分

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分

故的分布列为

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

故的期望为．．．．．．．．12分

考点：1、概率；2、离散型随机变量的分布列与期望．

19.已知梯形如图（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．

（1）求证：平面平面；

（2）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.

【解析】

试题分析：（1）要证面面垂直，可先证线线垂直，先由线面关系得到，由为正方形得，进而得到平面，从而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系，分别求得面的法向量和线的方向向量，由向量夹角公式求得线面角.

解析：

（Ⅰ）证明：由平面平面，，

平面平面，平面，

得平面，又平面，

∴，

由为正方形得，

又，，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由平面得，，

又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，

设，则，

设平面的一个法向量为，

由，，

得取得，

∵平面，，

∴，，

，，

设与平面所成的角为，则

，

∴与平面所成角的正弦值为.

20.已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.

(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；

(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.

试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以

所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，

故点的轨迹方程式

（2）设直线

直线与圆相切

联立

所以或为所求.

21.已知函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）设，若对任意的，都有，求整数的最大值．

【答案】(1)；(2)3.

【解析】

试题分析：（1）当时，，函数的最小值为；（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，通过求导得整数的最大值为3.

试题解析：

（1）当时，，定义域为.

，令，可得.

列表：

所以，函数最小值为.

（2）由题意对任意的恒成立，

可得对任意的恒成立.

即对任意的恒成立.

记，得，

设，，则在是单调增函数，

又，，且在上的图像是不间断的，

所以，存在唯一的实数，使得，

当时，，在上递减；

当时，，在上递增.

所以当时，有极小值，即为最小值，

又，故，所以，

由知，，又，

所以整数的最大值为3.

22.在平面直角坐标系中，曲线(为参数，实数)，曲线(为参数，实数)．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于，两点，与交于，两点．当时，；当时，.

(Ⅰ)求，的值及曲线 和极坐标方程； 

 (Ⅱ)求的最大值

【答案】(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ)

【解析】

【分析】

（I）根据平方法消去参数可得到曲线C1，的普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得a和b的值．

（II）利用C1，C2的极坐标方程可得，利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，然后利用正弦函数图像的性质即可得到最大值．

【详解】(Ⅰ)由曲线(为参数，实数)，

化为普通方程为，展开为：，

其极坐标方程为，即，

由题意可得当时，，∴.     

曲线极坐标方程为

曲线(为参数，实数)，

化为普通方程为，展开可得极坐标方程为，

由题意可得当时，，∴.

曲线极坐标方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，的极坐标方程分别为，.

∴

，            

∵，

∴的最大值为，

当，时取到最大值.

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程之间的互化，考查参数方程化普通方程以及三角函数图像的性质，考查了推理能力与计算能力．

23.已知函数，，且的解集为.

（1）求的值；

（2）若，，是正实数，且，求证：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）等价于,从而可求得的解集,根据已知其解集为可得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知,又因为是正实数,所以根据基本不等式即可证明．

试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以等价于

由有解，得，且其解集为

又的解集为，故

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又是正实数，由均值不等式得

当且仅当时取等号．

也即

考点：1绝对值不等式；2基本不等式．