高中数学高考卷12-2021年新高考数学实战演练仿真模拟卷（解析版）

卷12-2021年新高考数学实战演练仿真模拟卷

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，

．

故选：．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则　　

A．1 B． C．2 D．

【解析】解：复数满足，

解得，

所以．

故选：．

3．设等差数列的前项和为，若，，则　　

A．20 B．23 C．24 D．28

【解析】解：设等差数列的公差为，，，

，，

解得，，

则．

故选：．

4．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得　　

A． B． C． D．

【解析】解：在中，由余弦定理可得：

，

．

故选：．

5．下列说法：

①残差可用来判断模型拟合的效果；

②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；

③线性回归方程必过，；

④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中；

其中错误的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3．

【解析】解：对于①，残差可用来判断模型拟合的效果，

残差越小，拟合效果越好，①正确；

对于②，回归方程中，变量增加一个单位时，

平均减少5个单位，②错误；

对于③，线性回归方程必过样本中心点，，③正确；

对于④，在列联表中，由计算得，对照临界值得，

有的把握确认这两个变量间有关系，④正确；

综上，其中错误的命题是②，共1个．

故选：．

6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，若，则直线的方程为　　

A． B． C． D．

【解析】解：设，，，，抛物线的焦点为，

直线的方程设为，

联立，可得，

则，，

由抛物线的定义，可得，，

由，解得，

由，解得，

故直线的方程为或．

故选：．

7．已知数列的前项和，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：当时，；

当时，适合上式．

，

是首项为4，公比为4的等比数列，

，

故选：．

8．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

【解析】解：因为时，，

则可令，此时，

所以当时，，

即对，均有，

因为，所以，

所以在上单调递增，

由函数是奇函数，

所以函数在上单调递增，

故可大致画出函数的图象，

对于只需要将向右平移1个单位即可得到，

当时，，此时只需要即可，

由图象可知，此时，

当时，，此时只需要即可，

由图象可知，此时．

综上，不等式的解集为，，．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．中国的华为公司是全球领先的（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是　　

A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在，内 

B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势 

C．根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小 

D．根据甲、乙两店的营业额折线图可知 7、8、9 月份的总营业额甲店比乙店少

【解析】解：对于：根据折线图可知：甲的营业额在，内，故正确；

对于：根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势，故正确；

对于：甲店的极差值为，乙店的极差值为，故乙店的极差值比甲点的多，故错误；

对于：根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店的营业额为，

乙店的营业额为，故甲店的比乙店少，故正确．

故选：．

10．已知函数，则　　

A．的图象关于点对称 

B．的图象的一条对称轴是 

C．在上递减 

D．在值域为

【解析】解：函数，

令，求得，为最小值，故错误、正确；

当，，，，函数单调递减，故正确；

当，，，函数，，故错误，

故选：．

11．已知函数，且（a）（b），则　　

A． B． 

C．的最小值为 D．

【解析】解：函数的图象如图所示：

因为，则由图知，正确，

且由（a）（b）可得：，

则，故，正确，

所以，

又因为，所以“”不能取，故，正确，

故选：．

12．函数在上有唯一零点，则　　

A． B． C． D．

【解析】解函数在上有唯一零点，

，

，

令，，则，此函数只有一个零点，

，可知在上单调递减，在上单调递增；

（1），

，此时

．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．正项等比数列中，存在两项，，使得，且，则的最小值是　4　．

【解析】解：设的公比为，则；，

，当且仅当，时取等），

故答案为：4．

14．若函数的图象关于，对称，则　　．

【解析】解：因为函数，

因为函数的对称中心为，，

令，，

则，，又，

所以，

故答案为：．

15．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的离心率为　　．

【解析】解：根据题意，作出如下所示的图形，

由题可知，，

，△△，，

设，则，

由角分线定理可知，平分，，，，，

由双曲线的定义知，，，即①，

，，，即是等边三角形，，

在△中，由余弦定理知，，即，化简得，②，

由①②可得，，

离心率．

故答案为：．

16．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，．若对任意，不等式恒成立，则正整数的最大值为　2　

【解析】解：根据题意构造，

由定义在上的函数关于轴对称，可得为偶函数，

又，所以为奇函数，

当时，，

即，即，

所以在，递增，

所以为上的奇函数且单调递增，

因为对任意，不等式恒成立，

即，即，

可得对任意恒成立．

又的导数为，

当时，，函数为增函数，对任意不恒成立；

当时，时，，函数递增；时，，函数递减．

可得时，函数取得最小值，且为，

则，解得，

故正整数的最大值为2．

故答案为：2．

四．解答题（共6小题）

17．在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．

在中，已知内角，，所对的边分别为，，．若，_____．

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的值．

【解析】解：（1）选①，，

由正弦定理可得，

因为为三角形内角，，

所以，即，

因为为三角形内角，，

所以，可得，可得，

可得，

又，

由正弦定理可得，即，

可得，即，

又，

所以，，

所以，即．

选②，，

由正弦定理可得，

所以，

因为，

所以，

又为三角形内角，，

所以，可得，

又，

由正弦定理可得，即，

可得，即，

又，

所以，，

所以，即．

选③，，

由正弦定理可得，即，

因此，

又为三角形内角，，

所以，可得，

又，

由正弦定理可得，即，

可得，即，

又，

所以，，

所以，即．

（2）因为的面积为，

所以解得．

18．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）设数列，的前项相分别为，．

①是否存在正整数．使得成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

②解关于的不等式．

【解析】解：（1）设数列的公差为，数列的公比是，

由题意得，解得：，

故，

由题意得，解得：，

故；

（2）①假设存在，

即，即，

即，解得：，

故存在符合题意；

②令，即解不等式，

，

令，，，

当时，，即（1）（2），

当时，，即（2）（3）（4），

故，2时，，时，，时，，

又（1），（4）（3），

（5），

故（1）（2）（3）（4）（5）（6），

故即的解为，2，3，．

19．如图1，在直角中，，，，分别为，的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

【解析】解：（1）证明：由条件可知，

是的中点，，

又平面平面，平面平面，且平面，

平面，

平面，．

（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，0，，，0，，，，，，0，，，，，

，0，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

平面的一个法向量为，0，，

设平面与平面所成二面角为，

则．

平面与平面所成二面角的正弦值为：．

20．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值，的件数的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，．

【解析】解：（1）设事件的概率为（A），则由频率分布直方图可得，

1件产品为废品的概率为，

则（A），

（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，

，的频率为，

，的频率为，

，的频率为，

利用分层抽样抽取的7件产品中，，的有4件，

，的有2件，，的有1件，

从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

．

（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系与表所示，

每件产品的利润：

，，

则，

令，解得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数，单调递减，

当时，取最大值，为，

生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的利润取得最大值为1.5元．

21．已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线；的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）由于抛物线的焦点为，所以，

双曲线的离心率为，故椭圆的离心率为，

解得，即椭圆的标准方程为；

（2）由题知，且直线的斜率存在，设为，则直线方程为，

由，可得，

设，，，，则，

由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，

故假设存在定点，使得，，三点共线，则且，，

又，，，，所以，

即，

化简得，

将式代入上式得，

化简得，

故存在定点，，使得，，三点共线．

22．已知函数．是自然对数的底数）

（1）求的单调区间；

（2）记，，试讨论在上的零点个数．（参考数据：

【解析】解：（1）的定义域为，，

由，得，解得，

由，得，解得：，

的递增区间是，，单调递减区间，，

（2）由已知得，，

令，则，

，时，，，时，，

在上单调递增，在，上单调递减．

，，

①当，即时，，，

，，使得，

当，，

当，时，，

在上单调递增，在，单调递减；

，，

又，由零点存在定理得，此时在上仅有一个零点，

②若时，，

又，上单调递增，在，上单调递减，又，

，，，使得，，

且当、，时，，当，时，，

在和，上单调递减，在，单调递增．

，，，

，又，

由零点存在定理可得，在，和，内各有一个零点，

即此时在上有两个零点，

综上所述，当时，在上仅有一个零点，

当时，在上有两个零点．