高中数学高考考点09 幂函数及函数应用-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点09幂函数及函数应用

【命题解读】

幂函数是一种基本初等函数，主要考察是幂函数的图象以及幂函数的性质解决相关问题；对于函数应用的考察，主要体现在函数模型的实际应用，往往以实际应用题为主。

【命题预测】

预计2021年的高考对于幂函数来说最多出一个选择题，以幂函数的图象和性质应用为主，函数模型以分段函数、二次函数的实际应用为主要题型。

【复习建议】 

集合复习策略：

1.掌握幂函数的图象和性质；

2.掌握函数模型，会利用函数模型解决实际问题.

考向一　幂函数的图象和性质

1．幂函数：形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.

2．常见幂函数：

1. 【2019山东济南月考】函数y＝的图象大致是(　　)

【答案】C

【解析】y＝＝x，其定义域为x∈R，排除A，B，又0<<1，图象在第一象限为上凸的，排除D．

故选C.

2. 【2020四川省高三其他（理）】幂函数f(x)=(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a=(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【解析】由题可知,a2-10a+23为偶数且a2-10a+23<0(a∈Z),得a=5.

故选：C

3. 当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________________.

【答案】h(x)>g(x)>f(x)

【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，

由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．

考向二　函数的应用

1. 函数应用：一次函数、二次函数、幂函数等一些基本初等函数模型的应用.

2.函数模型：提炼问题---收集数据---分析数据---建立函数模型---求模、检验、还原

1. 【2019宁夏银川月考】国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为(　　)

A．3 000元  B．3 800元

C．3 818元  D．5 600元

【答案】B

【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为

y＝

显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3 800.

故选B.

2. 【2019河北唐山联考】 “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 ________.(用常数a表示)

【答案】a2

【解析】令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．

题组一

1. 【2019山东临沂月考】已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)

A．1　　　 B．2　　　　

C．1或2　　 D．3

2. 已知幂函数y=xn,y=xm,y=xp的图像如图2-8-2所示,则(　　)

A.m>n>p                 B.m>p>n

C.n>p>m                     D.p>n>m

3. 已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图像上,设a=f,b=fln,c=f,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<c<b                      B.b<c<a

C.c<a<b                      D.b<a<c

4. 【2019湖北八校联考】某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

5. 【2019云南昆明月考】A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．

(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？

6. 【2020年江苏省盐城市第一中学调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．[来源:学科网]

（Ⅰ）求的函数关系式；

（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?

题组一

1.A

【解析】∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．

故选A．

2.C

【解析】根据幂函数的性质可得,在(1,+∞)上指数大的幂函数其图像在上面,结合所给函数图像可得n>p>m,

故选C.

3.A

【解析】由f(x)=(m-2)xn为幂函数得m-2=1,m=3,

因为点(3,9)在幂函数f(x)的图像上,

所以3n=9,n=2,即f(x)=x2.

因为a=f=f,b=fln=f(ln 3),0<<<1<ln 3,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,所以a<c<b,

故选：A．

4.  

【解析】前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

5. 见解析

【解析】 (1)由题意知x的取值范围为[10，90]．

(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．

(3)因为y＝5x2＋(100－x)2

＝x2－500x＋25 000

＝(x－)2＋，

所以当x＝时，ymin＝.

故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．

6.  （Ⅰ）（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．

【解析】（Ⅰ）由已知

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

当时，；

当时，

当且仅当时，即时等号成立．

因为，所以当时，．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．