高中数学高考考点10 指数与指数函数-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点10指数与指数函数

【命题解读】

  指数函数是高中函数内容的核心知识点之一，在历年的高考中主要是以简单题目为主，指数幂的运算，指数函数的图象和性质都是要求掌握的知识点。指数函数作为一种重要的函数模型，要充分理解它的应用。

【命题预测】

预计2021年的高考对于指数函数部分的考察还是以指数幂的运算和指数函数的图象与性质为主要出题方向。

【复习建议】 

集合复习策略：

1.理解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算；

2.掌握指数函数的概念，图象和性质；

3.理解指数函数模型的应用。

考向一　指数幂及指数幂的运算

1．幂的概念：

①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,且n>1).

②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,且n>1).

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 

2．幂的运算：

①aras=ar+s (a>0,r,s∈Q); 

②(ar)s=ars (a>0,r,s∈Q); 

③(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q). 

3．无理指数幂：

一般的无理数指数幂aα（a>0,α为无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

1. 计算:(×)6+(-2019)0-4×+=　　　　. 

【答案】99+π

【解析】(×)6+(-2019)0-4×+

=()6×()6+1-4×+π-3

=4×27+1-4×+π-3=99+π.

2. 已知x+x-1=3,则的值为　　　　.

【答案】C

【解析】若x+x-1=3,则(x+x-1)2=9,即x2+x-2=7,(+)2=x+2+x-1=5,

又因为x+x-1=3>0,所以x>0,+=,

因为+=(+(x+x-1-1)=2,

所以==2-3.

考向二　指数函数的概念、图象和性质

1.【2019青海西宁月考】指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝______.

【答案】

【解析】设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1. 且f(m)＝am＝3. 所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.

2. 【2020河南省林州一中高二月考（理）】函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】作出函数的图象，如下图所示，

将的图象向左平移个单位得到图象.

故选：B

3. 【2020山东省高一期末】如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（    ）

A．蓝藻面积每个月的增长率为

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第6个月时，蓝藻面积就会超过

D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有

【答案】ACD

【解析】由图可知，函数图象经过，即，则，∴；

∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；

当时，，C对；

若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；

故选：ACD．

题组一（真题在线）

1. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A． B． 

C． D．

2. 【2020年高考天津】设，则的大小关系为

A．     B．     C．     D．

3. 【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是

A.  B.

C.  D.

4. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则

A．a<b<c  B．b<a<c 

C．b<c<a  D．c<a<b

5. 【2020年高考全国I卷】已知，，，则（     ）

A.                      B.

C.                      D.

6. 【2019年高考北京】设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

题组二

1. 【2019菏泽期末】已知实数a,b满足等式2019a=2020b,则下列关系式中不可能成立的是 (　　)

A.0<a<b                       B.a<b<0

C.0<b<a                       D.a=b

2. 【2020四川省高三模拟冲刺卷】若函数的大致图象如图所示，则的解析式可以是

A． B．

C． D．

3. 【2019黑龙江七台河月考】已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域(　　)

A．[9，81]  B．[3，9]

C．[1，9]  D．[1，＋∞)

4. 【2019山东省实验中学诊断】已知a＝，b＝，c＝log2，则(　　)

A．a＞b＞c  B．b＞a＞c

C．c＞b＞a  D．c＞a＞b

5.【2019河北邯郸月考】方程4x－2x＋1－3＝0的解集是__________.

6. 【2019山东淄博月考】已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数且a＞0，a≠0)的图象经过A(1，8)，B(3，32)．

(1)试求a，b的值；

(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

 7. 【2020巴蜀中学高三高考适应性月考】已知是定义域为的奇函数，且对任意实数，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

8. 【2020广东省惠州市高三模拟】已知函数，则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

题组一

1.D

【解析】由题意知是奇函数，且当x≥0时，f(x)=，

则当时，，则，

得．

故选D．

2.D

【解析】因为，

，

，

所以.

故选D．

3.D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

4.A

【解析】由题意可知、、，

，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

5. B

【解析】由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.

故选：B

6.  -1；    .

【解析】若函数为奇函数,则，

对任意的恒成立.

若函数是上的增函数,则恒成立,.

即实数的取值范围是

题组二

1. A【解析】设2019a=2020b=t,作出y=2019x和y=2020x的图像如图所示,由函数图像可得,若t>1,则a>b>0,若0<t<1,则a<b<0,若t=1,则a=b=0,故B,C,D中关系式可能成立,A中关系式不可能成立.故选A.

2.C【解析】当x→0时，f（x）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A；

当x＜0时，f（x）＜0，而选项B中x＜0时，>0，

选项D中，>0，排除B，D，

故选C．

3.C【解析】由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，∴f(x)min＝ f(2)＝32－2＝1；f(x)max＝ f(4)＝34－2＝9.

4.B【解析】因为a6＝2＝，b6＝3＝，所以0＜a＜b，又因为c＝log2＜log21＝0.

5. {x|x＝log23}

【解析】设2x＝t，则方程变形为t2－2t－3＝0，即(t－3)(t＋1)＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)，所以2x＝3，所以x＝log23，所以方程的解集为{x|x＝log23}．

6. 见解析

【解析】　(1)由题意解得a＝2，b＝4.

所以f(x)＝4×2x＝2x＋2.

(2)设g(x)＝x＋x＝x＋x，

所以g(x)在R上是减函数．

所以当x≤1时，g(x)min＝g(1)＝.

若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则m≤x＋x在x∈(－∞，1]时恒成立，则m≤.所以m的取值范围为.

7. A

【解析】 根据是定义域为的奇函数，由，得到，再利用函数的单调性，将恒成立，转化为恒成立求解.

因为是定义域为的奇函数

所以由，得，

而且单调递增，

所以恒成立，

所以，

解得.

故选：A．

8. A

【解析】由，知是偶函数，

不等式等价为，

当时，，在区间上单调递增，

解得.

故选A.