高中数学高考考点11 对数与对数函数-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点11对数与对数函数

【命题解读】

对数函数是基本初等函数中的一个重要函数，对数的运算是高考必须要掌握的运算。高考中对于对数函数的考察主要集中在对数函数的图象和性质上，这些的考察主要针对学生的数学运算和数学思维进行考察.

【命题预测】

预计2021年的高考对数函数部分一定会考察函数的图象和性质，但对数运算是基础，因此在考察对数函数的过程中会牵扯到对数的运算. 

【复习建议】 

集合复习策略：

1.理解对数的概念及运算性质；

2.掌握对数函数的概念和对数函数的图象和性质；

3.理解对数函数是一种重要的函数模型.

考向一　对数的概念及运算性质

1．对数：如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式 .

2．对数的性质：底数的限制:a>0,且a≠1

对数式与指数式的互化:ax=N⇔ x=logaN　　

负数和零没有对数　　

loga1=0　

logaa=1

对数恒等式:aloga N= N　　

3．对数的运算法则：a>0,且a≠1,M>0,N>0

loga(M·N)= logaM+logaN　

logaM/N=logaM-logaN　

logaMn= nlogaM　(n∈R)

4.换底公式:logab=(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)

1. 【2019济宁二模】已知a=log49,b=log25,则22a+b=　　　　. 

【答案】45

【解析】由题意可得a=log49=log23,

由对数恒等式可知2a==3,2b==5,

则22a+b=(2a)2×2b=32×5=45.

2. 【2020新乡三模】设a=lg 6,b=lg 20,则log23= (　　)

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】∵    ∴

则log23==.

故选D.

考向二　对数函数的图象及性质

1.【2020天津耀华中学高三一模】已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出的图象如下所示：

由图可知，

又因为

故可得，则.

综上所述：.

故选：A.

2. 【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数的定义域是______.

【答案】

【解析】因为，

所以，所以，

所以，

解得或或.

故答案为.

3. 【2020湖南省高三其他（理）】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.

故选：C.

题组一（真题在线）

1. 【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设，则（   ）

A．  B．  C．  D．

2. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）

A．60   B．63    C．66    D．69

3. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a=log32，b=log53，c=，则

A．a<c<b  B．a<b<c   C．b<c<a   D．c<a<b

4. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

5. 【2020年高考北京】函数的定义域是____________．

6. 【2019年高考北京】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1

7. 【2019年高考天津】已知，，，则的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

8. 【2019年新高考全国II卷】已知是奇函数，且当时, .若，则_______.

题组二

1. 【2020届山西省太原五中高三模拟】函数在的图像大致为

A． B．

C．  D．

2. 【2020宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

3.【2020四川省高二期末（理）】已知函数，且，，则（    ）

A． B． C．2 D．-2

4. 【2020黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理）】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A．10% B．20% C．50% D．100%

5. 【2020全国高三其他】函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

6. 【2019山东省高三月考】已知函数，若，则的所有可能值为（    ）

A．1 B． C．10 D．

7.【2020青铜峡市高级中学高二期末】的单调递增区间____ __．

8.【2020辽宁省高三二模（理）】已知函数，则值为______；若，则的最小值为______.

题组一

1.B

【解析】由可得，所以，

所以有，

故选：B.

2.C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

3.A

【解析】因为，，

所以.

故选A.

4.AC

【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，

所以，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

5.

【解析】由题意得，

故答案为：

6. D

【解析】两颗星的星等与亮度满足 ,

令 ， ，

，

，

故选D.

7.A

【解析】，

，

，故，

所以。

故选A

8.

【解析】∵，

∴.

题组二

1.D【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除A，又因为，，，，故排除B，C.

故选D.

2.C【解析】∵，又在区间上为增函数，∴，∴，∴，∴不等式的解集为，故选C.

3.C【解析】由，即，得，

由，得，

得，于是.

故选：C.

4. B【解析】当时，，当时，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%

故选：B

5. B【解析】因为是由向左平移一个单位得到的，

因为，

所以函数为偶函数，图像关于轴对称，

所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；

又当或时，，，

所以，故可排除C选项

故选：B.

6. AD【解析】

当时，由

可得

当，

可得

解得

的所有可能值为：或

故选：AD.

7.

【解析】定义域：-5<x<1

令g（x）=

函数g（x）对称轴是x=-2，单调递增区间是

则函数f（x）单调递增区间是

8. 2；

【解析】由已知；

又①，

则②，

，

则①＋②可得，

，

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：2；.