高中数学高考考点13 函数与方程-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点13函数与方程

【命题解读】

函数与方程是高考的一个考点，求方程的根、函数的零点的个数问题以及零点存在性定理判断零点是否存在都是考试的出题方向.备考时应理解函数的零点，方程的根和函数图象与x轴的横坐标的等价性.

【命题预测】

预计2021年的高考函数与方程还是一个重要的考点，在此部分要注意第一函数零点个数以及所在区间的判断方法，第二由函数的零点求参数的取值范围.

【复习建议】 

集合复习策略：

1.理解函数与方程的根和函数图象与x轴的横坐标的等价性；

2.掌握判断函数零点的个数方法；

3.掌握函数零点求参数的取值范围.

考向一　函数零点个数及零点所在区间

1.函数零点的定义

对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点. 

2.等价关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 

3.函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 

1. 【2019重庆南开中学月考】函数f(x)=ln x+2x-6的零点一定位于区间 (　　)

A.(1,2)              B.(2,3) 

C.(3,4)             D.(4,5)

【答案】B

【解析】由题可知,函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域上连续,又f(2)=ln 2+2×2-6=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0,故函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)上,

故选B.

2.【2019潍坊三模】 已知f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,且f(x)=f(4-x),则函数f(x)的零点个数至少为              (　　)

A.3           B.4         C.5          D.6

【答案】C

【解析】∵f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,

∴f(0)=0,且其他零点关于原点对称,

∴零点个数为奇数,排除选项B,D,

又∵f(x)=f(4-x),

∴f(0)=f(4)=0,f(-4)=-f(4)=0,

∴f(-4)=f(4+4)=f(8)=0,

f(-8)=-f(8)=0,

∴f(x)的零点有0,±4,±8,至少5个,故选C.

考向二　函数的零点求参数的取值范围

已知函数的零点求参数的值或取值范围方法：直接法、分离参数法、数形结合法.

1. 【2019山东省高三月考】函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A．2 B． C．0 D．1

【答案】ABC

【解析】∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

 
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.

综合得：或.
故选：ABC.

2. 【2019吉林普通中学调研】已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　. 

【答案】[-3,-1)∪[3,+∞).

【解析】由题意得g(x)=即g(x)=函数y=x2+4x+3和函数y=3-x的图像如图所示,因为g(x)恰有2个不同的零点,即g(x)的图像与x轴恰有2个交点.

若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有两个零点,则令x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1,则当x>a时,g(x)=3-x没有零点,所以a≥3.

若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有一个零点,则当x>a时,g(x)=3-x必有一个零点,即-3≤a<-1.

综上,a∈[-3,-1)∪[3,+∞).

3. 【2019浙江省高三其他】偶函数满足，且当时，，则__________，则若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】，

【解析】偶函数满足，

，

即函数是周期为2的周期函数，

则，

若，则，

则，

即，，

由得，

要使函数有4个零点

等价为函数与有四个不同的交点，

作出两个函数的图象如图：

过定点，，

则满足，

即，得，

即实数的取值范围是，

故答案为，

题组一（真题在线）

1. 【2020年高考天津】已知函数若函恰有4个零点，则的取值范围是

A．     B．

C．     D．

2. 【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是

A.  B.

C.  D.

3. 【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

4. 【2019年高考浙江】已知，函数，若函数恰有三个零点，则（  ）

A.  B.

C.  D.

5.【2019年高考江苏】设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.

6. 【2019全国卷Ⅱ】已知函数

（1） 讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；

（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线。

题组二

1. 【2019天津红桥区一模】已知函数f(x)=,g(x)=kx-2,若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-1)              B.(-1,0)          C.(0,4)            D.(0,1)∪(1,4)

2. 【2019天津十二重点中学联考】已知函数f(x)=若方程f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数解,则实数k的取值范围是              (　　)

A.-,3-2          B.-,3+2       C.-∞,-          D.-,

3. 【2019石家庄质检】已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为              (　　)

A.4                 B.5              C.6                D.3

4. 【2019上饶重点中学联考】已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+2f(x)+m=0有三个不同的实根,则m的取值范围为　　　　. 

5. 【2020河北省高三二模】若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为______.

6. 【2020天津耀华中学高一期末】已知对任意都有意义,则实数的取值范围是___________.

7. 【2020洮南市第一中学高二月考（理）】已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求的值.

8. 【2020浙江省高三其他】设函数，．

（1）若在上仅有一个零点，求a的取值范围；

（2）若，试讨论方程在上的根的个数．

题组一

1.D

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

2.D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

3.C

【解析】因为，所以且，设，则的零点

为

当时，则，，

要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

4.D

【解析】原题可转化为与，有三个交点.

当时，，且，则

（1）当时，如图与不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B

（2）当时，分三种情况，如图与若有三个交点，则，答案选D

下面证明：时，

时，，则，才能保证至少有两个零点，即，若另一零点在

5.

【解析】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数与的图象，要使在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当时，函数与的图象有2个交点；

当时，的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数与的图象有6个交点.当与图象相切时，圆心（1，0）到直线的距离为1，即，得，函数与的图象有3个交点；当过点（1,1）时，函数与的图象有6个交点，此时，得.

综上可知，满足在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为.

6.见解析

【解析】（1）函数的定义域为，

又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点；

（2）因为是函数的一个零点，所以有。曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线的切线。

题组二

1.D【解析】f(x)==

分别画出函数f(x),g(x)的图像如图所示,

由图像可以看出,g(x)=kx-2的图像恒过A(0,-2),设B(1,2),则直线AB的斜率为4,

①当0<k<1时,函数f(x),g(x)的图像有两个交点,

即方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根;

②当k=1时,函数f(x),g(x)的图像有一个交点,

即方程f(x)=g(x)有一个实数根;

③当1<k<4时,函数f(x),g(x)的图像有两个交点,

即方程f(x)=g(x)有两个不同的实数根;

④当k≤0时,函数f(x),g(x)的图像有一个交点,即方程f(x)=g(x)有一个实数根.

综上,实数k的取值范围是0<k<1或1<k<4.

故选D

2.A 【解析】 f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数根,等价于函数y=f(x)+|x-2|与y=kx的图像有三个交点,画出y=f(x)+|x-2|=与y=kx的图像如图,

当直线y=kx与函数y=x2+3x+2的图像相切时,k=3-2,

当直线y=kx过点(-3,2)时,k=-,

∴根据图像可知,当-≤k<3-2时,两图像有三个交点,

∴若方程f(x)+|x-2|-kx=0有且只有三个不相等的实数解,则实数k的取值范围是-,3-2.故选A.

3A【解析】当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f'(x)=12x2-12x,

所以当0<x<1时,f(x)单调递减,当x>1时,f(x)单调递增,

故f(x)在x=1处取得极小值,也为最小值-1,且f(0)=1,

作出函数f(x)的图像如图所示,

g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3,可令g(x)=0,t=f(x),

可得3t2-10t+3=0,解得t=3或,

当t=,即f(x)=时,g(x)有三个零点;

当t=3,即f(x)=3时,g(x)有一个零点,

综上,g(x)共有四个零点.故选A.

4. (-∞,-3]

【解析】作出函数f(x)的图像如图所示,

设f(x)=a,当a≥1时,方程f(x)=a有两个根;当a<1时,方程f(x)=a有一个根.

所以当关于x的方程[f(x)]2+2f(x)+m=0有三个不同的实根时,a2+2a+m=0的两根一个比1大,一个比1小,所以1+2+m<0,即m<-3.当m=-3时,f(x)=1或f(x)=-3符合题意.

综上可得m≤-3.

5.

【解析】依题意，函数在区间，上有零点等价于方程在区间，上恰有一个根，函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，

函数关于对称，在上有最小值，时，，，

函数，令，

当时，由复合函数单调性知单调递减，当时，，

所以函数和函数的图象在区间上无交点，

当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，

由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，

此时，

解得，

因为在上单调递增，

所以，即的最小值为，

故答案为：

6.

 【解析】要使函数有意义，则当意时，恒成立，

即．

若时，当时，此时不成立．

若，当时，作出函数和的图象，

当时，，得，即，

若对任意恒意义，则，

即实数的范围是．

故答案为：．

7.见解析

【解析】（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

8. 见解析

【解析】（1）当时，，不符题意，

当时，，

即，故．

当时，则，不符题意，

当时，则，

其零点为或，满足题意.

综上，的取值范围是；

（2）令，

则

因为，所以，故，

所以当时，，

当时，，

当时，，

即知在上递增，在上递减，在上递增，

且有，

，

故在上存在唯一的零点，

令，则，

易知在上递减，在上递增，

故，即

所以当时，

，

得，

故存在，使得，

所以在上也存在唯一的零点，

取，

又因为在上恒成立，

故，

同样可知在上仍存在唯一的零点

综上，当时，方程在上恒有3个相异实根．