高中数学高考考点14 函数模型及应用-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点14函数模型及应用

【命题解读】

函数模型是建立在各种函数基础之上的，对于函数模型的考察主要集中在模型的建立，求解和实际应用上，因此在此节中，要学会解读实际问题，高考对于这部分的要求也越来越高，年年出题考察.

【命题预测】

预计2021年的高考函数模型及其应用还是必考题，多见于选择或者填空，要重视模型的建立.

【复习建议】 

集合复习策略：

1.认清给定的函数模型，理解函数模型的应用；

2.结合实际情景选定模型；

3.能利用函数模型的图象性质求解实际问题.

考向一　已知函数模型解决实际问题

1.一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

2.二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

3.反比例函数模型f(x)=k/x+b(k,b为常数且k≠0)

4.指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)

5.对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)

6.幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)

1.【2020山东省高一期末】如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（    ）

A．蓝藻面积每个月的增长率为

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第6个月时，蓝藻面积就会超过

D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有

【答案】ACD

【解析】由图可知，函数图象经过，即，则，∴；

∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；

当时，，C对；

若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；

故选：ACD．

2. 【2020全国高三月考（理）】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：，，，）.

【答案】199

【解析】设过x天能达到最初的16000倍，由已知，，又，所以过199天能达到最初的16000倍.

故答案为：199.

考向二　选择函数模型解决实际问题

实际问题------建立函数模型------数学结果------实际结果.

1.【2019湖北八校联考】某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

【答案】　

【解析】前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

2. 【2020江苏省盐城市第一中学高三调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．[来源:学科网]

（Ⅰ）求的函数关系式；

（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．

【解析】（Ⅰ）由已知

(Ⅱ )由(Ⅰ )得

当时，；

当时，

当且仅当时，即时等号成立．

因为，所以当时，．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．

3.【2020福建省高一期末】某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

【答案】（1）50元；（2）当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．

【解析】（1）解：设每瓶定价为元，依题意，

有，

整理得，解得．

因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元．

（2）设每瓶定价为元，月总利润为，则

．

当且仅当，即，

∴或（舍去），∴．

因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元．

题组一（真题在线）

1. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A．10名  B．18名 

C．24名  D．32名

2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）

A．60        B．63    

C．66        D．69

3. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

A．1.2天  B．1.8天

C．2.5天       D．3.5天

4. 【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1   B．10.1

C．lg10.1     D．10−10.1

5. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．   

C． D．

6. 【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

题组二

1.【2019宁夏银川月考】国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为(　　)

A．3 000元  B．3 800元

C．3 818元  D．5 600元

2. 【2019广西柳州联考】设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

3.【2020黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理）】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A．10% B．20% C．50% D．100%

4. 【2019全国高一课时练习】某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ）

A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为

C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为

E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用

5.【2020全国高一课时练习】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在R上是增函数 D．的值域是

6.【2020宁夏回族自治区银川一中高一期末】某工厂生产某种商品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为（万元）.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，每件售价为500元最为合适.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？

7. 【2019云南昆明月考】A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．

(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？

8. 【2019上海普陀区一模】某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝x2＋x＋150万元．

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图)，

经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

题组一

1.B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，

，,故需要志愿者名.

故选：B

2.C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C．

3.B

【解析】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B．

4.A

【解析】两颗星的星等与亮度满足，

令，

则

从而.

故选A.

5.D

【解析】由，得，

因为，

所以，

即，

解得，

所以

故选D.

6. ①130；②15

【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.

②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，

当元时，李明得到的金额为，符合要求；

当元时，有恒成立，

即，

因为，所以的最大值为.

综上，①130；②15.

题组二

1.B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝

显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3 800.

故选B

2.D【解析】 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B．

故选D.

3.B【解析】当时，，当时，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%

故选：B

4. ABCD

【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；

甲厂的费用与证书数量x满足的函数关系为，故B正确；

当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；

易知当时，与x之间的函数关系式为，故D正确

当时，，因为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故E不正确.

故选：ABCD

5. BC

【解析】根据题意知，.

∵，

，

，

∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；

，

∴是奇函数，B正确；

由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；

，，

，，D错误.

故选:BC.

6. （1）；（2）该产品年产量为100千件时，该厂所获利润最大.

 【解析】（1）依题意，

，

（2）由（1）得

当时，，

当时，万元，

当时，，

当且仅当时，等号成立，即万元

所以利润的最大值为万元.
答：该产品年产量为100千件时，该厂所获利润最大.

7.见解析

【解析】(1)由题意知x的取值范围为[10，90]．

(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．

(3)因为y＝5x2＋(100－x)2

＝x2－500x＋25 000

＝(x－)2＋，

所以当x＝时，ymin＝.

故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．

8. 见解析

【解析】(1)由总成本p(x)＝x2＋x＋150万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.

当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．

∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝

当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，

∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000.

当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000.

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为＝120人．

∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少＝75%.