高中数学高考考点14 指数函数（原卷版）

考点14  指数函数

【命题解读】

在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。

【基础知识回顾】 

．指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．

(2)指数函数的图象与性质

[常用结论]

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0  B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0  D.0<a<1，b<0

3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(     )

A. 1<a<

B. －<a<－1

C. 1<a<，或－<a<－1

D. <a<1，或1<a<

4、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为              ．

5、函数的值域为（　　）

A． B． C．（0，] D．（0，2]

考向一　指数函数的性质与应用

例1、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．b＜a＜c     B．c＜a＜b     C．c＜b＜a     D．a＜b＜c．

（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（    ）

A．3          B．           C．-5         D．3或．

（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

变式1、（1）函数f(x)＝的单调减区间为      ．

（2）(一题两空)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．

（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．

变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式的解集为_______.

变式4、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.

方法总结：　指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．

(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．

(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解

考向二  指数函数的图像与性质

例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．

变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是       

变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是(     )

A． B． C． D．

变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

变式4、　已知f(x)＝|2x－1|.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；

(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．

方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．

(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；

(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．

考向三   指数函数的综合运用

例3、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　 )

A．函数f (x)的定义域为R

B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)

C．方程f (x)＝x有且只有一个实根

D．函数f (x)的图象是中心对称图形

变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数，若，则实数 _____．

变式2、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1) 求a，b的值；

(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．

(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；

(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．

方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间

1、(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为

2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

3、（2017北京）已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数         B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数         D．是偶函数，且在R上是减函数

4、（2012山东）若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝        ．

5、已知函数f(x)＝3x－．

(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)判断x>0时，f(x)的单调性；

(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．