高中数学高考考点22 平面向量的应用---正余弦定理-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
平面向量基的应用是考试经常出现的，尤其是正余弦定理，是高考必考知识点之一，纵观每年的高考题，都有正余弦定理的题目，对于这部分的考察主要是以大题为主，偶尔会出现填空或者选择，主要是掌握正余弦定理的应用。
【命题预测】
预计2021年的高考平面向量的应用及正余弦定理肯定还是以解答题的形式出现，主要出现在第17题的位置，需要加强题目练习，掌握正余弦定理的知识点。
【复习建议】
1.了解平面向量的应用；
2.掌握正余弦定理的知识点；
3.理解正余弦定理在解题中的应用。
考向一 正弦定理与余弦定理
1.正弦定理
asinA= bsinB= csinC=2R(其中R是 △ABC的外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C;
(2)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C;
(3)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
2.余弦定理
a2= b2+c2-2bccs A
b2= c2+a2-2accs B,
c2= a2+b2-2abcs C
推论
cs A=b2+c2-a22bc, cs B=a2+c2-b22ac, cs C=a2+b2-c22ab
1. 【2020湖北省高三其他（理）】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S．
（1）若a，b，求csB．
（2）求sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A）的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为三角形面积为S ，
所以，
解得 ，
因为a，b，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
所以为锐角，
所以
（2）由（1）知，
所以sin（A+B）+sinBcsB+cs（B﹣A），
，
，，
令，
因为，
所以，
所以，
原式，
当时，原式取得最大值.
2. 【2020广东省高三其他（理）】在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）解法一：由得，
即，
所以，
为锐角，，
，
即
解法二：由得，
即
所以即，
，即
为锐角，
所以.
（2）解法一：，由余弦定理，
得
又代入上式得，
当且仅当时取等号成立.
，
故的面积最大值为.
解法二：，由正弦定理，得，
所以，
，
由
.
因为，则当即时，
，
故的面积最大值为.
考向二 正弦定理与余弦定理的应用
主要考察正弦定理余弦定理在解三角形中的应用
1. 【2020山东省高三三模】如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设．
（1）把线段PC的长表示为的函数；
（2）求四边形ACDP面积的最大值．
【答案】（1）， ； （2）5
【解析】（1）依题设易知是以为直角的直角三角形，
又，所以.
在，由余弦定理得，
.
所以， 定义域为.
（2）四边形ACDP面积为，
则
其中为锐角.
因为所以.
又因为，所以，
所以当时，取得最大值为.
所以四边形ACDP面积的最大值为5 .
2. 【2019山西监测】如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6. 现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．
(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；
(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)
(本题参考数据：sin 97°≈1，cs 53°≈0.6)
【答案】(1) 4 (2) 17
【解析】(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，
∴CD⊥AB． 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.
(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，
∴由eq \f(AD,sin β)＝eq \f(AB,sin∠ADB)得
AD＝eq \f(ABsin β,sin∠ADB)＝eq \f(10sin 30°,sin 97°)＝eq \f(5,sin 97°)≈5.
在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcs α
＝52＋42－2×5×4×cs 53°≈17.
题组一（真题在线）
1. 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，csA=−，则=
A．6B．5
C．4D．3
2. 【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=
A．B．
C．D．
3. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
4. 【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
5. 【2020年高考全国II卷理数】中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
6. 【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
7. 【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求csA+csB+csC的取值范围．
8. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
9. 【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
10. 【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
题组二
1. 【2019山东省烟台市高三一模】在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角
A．B．
C．D．
2. 【2019山东省实验中学等四校联合考试】在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，则
A．1B．
C．D．
3. 【2020广东省高三其他（理）】已知四边形中，，，，，E在的延长线上，且，则
A．1B．2C．D．
4. 【2020四川省阆中中学高三二模（理）】在中，若，则的最小值为_______
5. 【2020六盘山高级中学高三其他（理）】已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.
（1）求的面积；
（2）若，求的最大值.
6. 【2020广东省高三二模（理）】中，D为上的点，平分，，，的面积为.
（1）求的长；
（2）求.
7. 【2020四川省泸县第四中学高三二模（理）】△的内角的对边分别为,且．
（1）求角的大小；
（2）若,△的面积,求的周长．
8. 【2019广东省韶关市高考模拟】在中，、、分别是内角、、的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
题组一
1.A
【解析】由已知及正弦定理可得，
由余弦定理推论可得
，故选A．
2.A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，
可得 ，即，
由，
故.
故选：A．
3.
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
4. ，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.
5. 见解析
【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①
由余弦定理得，②
由①，②得.
因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
从而，.
故.
又，所以当时，周长取得最大值.
6. 见解析
【解析】（1）在中，因为，
由余弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，
得，所以
（2）在中，因为,所以为钝角，
而,所以为锐角.
故则.
因为，所以，.
从而
7. 见解析
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，由题意得.
（Ⅱ）由得，
由是锐角三角形得.
由得
.
故的取值范围是.
8. 见解析
【解析】方案一：选条件①．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
9. 见解析
【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．
（Ⅱ）在中，由正弦定理及，可得．
（Ⅲ）由及，可得，
进而．
所以，．
10. 见解析
【解析】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
题组二
1. D【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
由正弦定理可得：，
∵，∴，即，
∵，∴.故选D．
2.D【解析】由，得，
∵，∴，
即，即，则，
∵，∴，∴，即，
则，
故选D．
3.A【解析】在中，由余弦定理有，
∴，
易知，又，，故，
.
故选：A
4.
【解析】由，结合，
可得：，
当且仅当时，取得最小值为.
故答案为：.
5. ；（2）
【解析】（1）在中，，∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∴
∴当时，取最大值.
6. （1）（2）
【解析】（1）因为，，的面积为，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，由余弦定理，得
，
∴.
（2）在中，由余弦定理，得，
∴，
因为平分，所以，
∴
，
7. （1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）依题意得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
8. （1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：
，
即，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，的面积为，
，
∴，
∴由余弦定理可得：，
即，解得：，
∴的周长为.