初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案

第四讲  勾股定理的逆定理

一、知识梳理：

考点1：互逆命题与互逆定理

（1）       互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。

（2）       互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称为原定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。

注意：（1）互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。但是当原命题成立时，它的逆命题不一定成立。

（2）每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的时候，才能称为原定理的逆定理。当这个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。

考点2：勾股定理的逆定理

  如果三角形的三边长度分别是，并且满足,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。

知识点3：勾股数

（1）满足的三个正整数就是一组勾股数

（2）对于任意两个整数，这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15

二、课堂精讲：

（一）逆命题

例1．写出下列命题的逆命题，并判断真假。

（1）同位角相等，两直线平行。     （2）如果=2，则=4

【随堂演练一】【A类】

1．下列命题的逆命题是真命题的是（  ）

 A．若，则  B．全等三角形的周长相等 

 C．若，则    D．有两边相等的三角形是等腰三角形

 （二）勾股定理逆定理的应用

例2.判断由线段组成的三角形是不是直角三角形。

（1）   （2）

【随堂演练二】【A类】

1.在下列线段中能组成直角三角形三边的是（      ）

A.7,10,13       B.     C.     D.

2.判断：三边长分别为的三角形是否是直角三角形。

3.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50 =6a+8b+10c，试判断△ABC的形状．

4.在正方形ABCD中，F是DC边中点，E是BC上的一点，且EC=BC。求证∠EFA=90°。

5.某港口位于东西方向的海岸线上，A、B两军舰同时离开港口，各自沿-固定方向航行，A舰每小时航行16海里，B舰每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，相距30海里，已知A舰沿东北方向航行，问B舰沿哪个方向航行？

（三）勾股定理及逆定理的综合应用

例3.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积。

【随堂演练三】【B类】

1.如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，试问△ABC是等腰三角形吗？说明理由。

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

1．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是________。

2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 _________.

3．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为______cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.

4.如图所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m， AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积是__________.

二、选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是（     ）

A．锐角三角形　B．钝角三角形   C．等边三角形  D．等腰直角三角形

2．在Rt△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论中正确的是（   ）

A．∠C＝90°   B．∠B＝90°   C．△ABC是锐角三角形    D．△ABC是钝角三角形

3．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（     ）

A．仍是直角三角形   B.不可能是直角三角形    C．是锐角三角形    D．是钝角三角形

4.△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（  ）

    A．a=41，b=40，c=9     B．a=1.2，b=1.6，c=2   

C．a=，b=，c=   D．a=，b=，c=1

5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（     ）  A．0     B．1     C．2      D．3

6．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（  ）

A．3   B． C．1    D．4

7.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（      ）

三、解答

1..已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

2.如图，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积.

3.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.

4.已知：如图，直角梯形ABCD，，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.

5.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长

6.如图在△ABC中，AB=5，AC=13，BC上的中线AD=6，求BC边的长。

7.如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A B C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数。

8.如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．

第四讲  勾股定理的逆定理【答案】

例1.解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等。它是真命题。

（2）逆命题是：如果=4，则x=2。它是假命题，x可以取到±2

【随堂演练一】【A类】

选C

例2.解（1）∵  ∴ ∴是直角三角形。

（2）∵  ∴  ∴是直角三角形。

【随堂演练二】【A类】

1. 选C
2. ,所以这个三角形是直角三角形。
3.     由已知得：a=3,b=4,c=5,所以三角形ABC是直角三角形。
4.     连接AE,由
5.     B船沿西北方向航行。

例3.答：四边形ABCD的面积为36.

【随堂演练三】【B类】

解：△ABC是等腰三角形，证明如下：

∵AD是BC边上的中线， ∴BD=DC=BC=5cm

在△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，BD=5cm

∴

即： ∴△ABD是直角三角形。且∠ADB=90° ∴∠ADC=90°

在Rt△ADC中，AD=12cm，DC=5cm ∴

∴AC=13=AB  ∴△ABC是等腰三角形

三．小结：

四、课后巩固练习

一、填空

二、选择

三、解答

1. 提示：，所以三角形ABC是直角三角形。
2. 四边形ABCD的面积为204.
3. 提示：可证得，所以三角形ABC是直角三角形。
4. 四边形ABCD的面积为18
5. EF=13

8.（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC．

∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD．

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）解：又∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形。

∴