第12讲 数据的分析 教案

第十二讲  数据的分析

一、知识梳理：

考点1、算术平均数和加权平均数

一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.

     若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.

    要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

考点2、中位数和众数

1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.

      要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

     要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

考点3、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

考点4、方差和标准差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：

　　要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

             （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

             （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

    方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：

　　；标准差的数量单位与原数据一致.

考点5、方差和标准差的联系与区别

联系：方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

区别：方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．考虑到这组数据的稳定性时用方差.

考点6、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.

要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

         （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

二、课堂精讲：

（一）利用概念求平均数、中位数、众数

例1、某电冰箱专卖店出售容积为182L、185L、228L、268L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就作一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．

    (1)这组数据的平均数有实际意义吗?

    (2)这组数据的中位数、众数分别是多少?

    (3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数?

【随堂演练一】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．

（二）利用三数——平均数、众数、中位数解决问题 

例2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

    (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

    (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【随堂演练二】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

例3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．

    已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．

    (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?

(2)设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值．

【随堂演练三】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

请根据图表中的信息，回答以下问题.

    (1)求的值；

(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

（三）方差与标准差

例4、某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单

位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差

（见小宇的作业）．

         甲、乙两人射箭成绩统计表

（1）＝_____；＝_______；

（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；

（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．

【随堂演练四】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)

    (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．

（四）统计思想

例5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．

    (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

三．小结：

1. 加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．

2. 中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．

3. 和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．

4. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.

四、课后巩固练习

一.选择题

1.已知一组数据2，l，，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是(    )．

    A．2    B．2．5    C．3    D．5

2．8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，，81，这组成绩的平均数是77，则的值为(    )．

    A．76    B．75    C．74    D．73

3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是(    )．

    A．11.6    B．232    C．23.2    D．11.5

4. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投10次)的情况，投进篮筐的个数为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数和极差分别是(  )．

    A．4，7    B．7，5    C．5，7    D．3，7

5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每个数都除以2，所得新数据的方差是(    )．

    A．    B．    C．    D．

6. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为(    )．

A．2，    B．2，1    C．4，    D．4，3

二.填空题

7．已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为________．

8．数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，它们的众数是____、中位数是____、平均数是_______．

9. 给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是______；方差是______ (精确到0.1)．

10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数据，使得该数据组的中位数为3，则＝________．

11．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：

    若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数为_________．

12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．

三.解答题

13. 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试．他们的各项成绩(百分制)如下：

    (1)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3:3:2:2的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁?

    (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2:2:3:3的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁?

14. 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示：

    (1)请你填上表中乙学生的相关数据；

    (2)根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平．

15. 某中学八年级(1)班共40名同学开展了“献爱心”的活动．活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．

    (1)求这40名同学捐款的平均数；

    (2)该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元?

参考答案

例1

解：(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．

    (2)这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．

(3)专卖店经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．

【随堂演练一】3.2；3.5；

例2

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，

丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

∴  候选人丙将被录用．

    (2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，

乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，

丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，

       ∴  候选人甲将被录用．

【随堂演练二】

解：小王平时测试的平均成绩（分）．

所以（分）．

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．

例3

解：(1)设该班得80分的有人，得90分的有人．

根据题意和平均数的定义，得

整理得  解得

    即该班得80分的有8人，得90分的有5人．

    (2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以＝80，第15、16两个数均为80分，所以＝80，则＝80＋80＝160．

【随堂演练三】

解：(1) ＝50－15－20－5＝10．

(2)众数是15．

平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．

例4

解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，

则＝30－7－7－5－7＝4， ＝30÷5＝6，

故答案为：4，6；

（2）如图所示：

；

（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，

故答案为：乙；

由于＜，所以上述判断正确．

②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．

【随堂演练四】

解：(分)，

    (分)．

    甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．

    (2)由(1)知分，所以

，

．

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．

例5

 解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

．

∴  这组样本数据的平均数为6.8．

∴  在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．

∴  这组数据的众数是6.5．

∵  将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．

    ∴  这组数据的中位数是6.5．

(2)∵  10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．

∴  根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

课后巩固练习

一.选择题

1.【答案】B；

【解析】由众数的意义可知＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为．

2．【答案】D；

  【解析】由题意，解得.

3．【答案】A；

  【解析】

4.【答案】C ；

【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为3，4，4，5，6，8，10，则中位数为5，极差为10－3＝7．

5.【答案】C；

6.【答案】D；

【解析】本题可用公式直接计算．

虽然此类题可由方差的定义求得，但这道题可推广为：若，…，的平均数是，方差为，则，，…，的平均数为，方差不变；，…，的平均数为，方差为，因此,，的平均数为，方差为，这个结论可直接运用到填空题或选择题．

二.填空题

7．【答案】1、3、5或2、3、4

8．【答案】4；3.5；3.21；

【解析】 数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最中间的两个数是3和4，所以这组数据的中位数是3.5；这组数据的平均数是．

9.【答案】23  2.6；

  【解析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，不难发现处于中间的数是23，然后求出平均数是24，再利用公式便可求出方差约为2.6．

10．【答案】2 ；

11．【答案】4；

   【解析】设成绩为8环的人数为，则.

12.【答案】乙；

   【解析】由题意知＝6，，则乙的成绩比较稳定.

三.解答题

13.【解析】

解：(1)听、说、读、写的成绩按3:3:2:2的比确定，

    则甲的平均成绩为：(分)．

    乙的平均成绩为：(分)．

    显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲．

    (2)听、说、读、写的成绩按照2:2:3:3的比确定，

    则甲的平均成绩为：(分)．

    乙的平均成绩为：(分)．

    显然乙的成绩比甲高，所以从成绩看，应该录取乙．

14.【解析】

解：乙命中10环的次数为0；

乙所命中环数的众数为7，其平均数为

；

    故其方差为．

    甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多；②从成绩的稳定性看，，乙的成绩波动小，比较稳定；③从良好率(成绩在8环或8环以上)看，甲、乙两人成绩相同；④从优秀率看(成绩在9环及9环以上)看，甲的成绩比乙的成绩好．

15.【解析】

解：(1)×(20×9＋30×12＋50×16＋100×3)＝41(元)；

所以这40名同学捐款的平均数为41元．

(2)41×1200＝49200(元)．

所以这个中学的捐款总数大约是49200元．