2.4二次函数与实际问题

实际问题与二次函数

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容
二次函数的应用
课型
一对一/一对N


教学目标
1、掌握利用二次函数解决面积最值问题的方法和技巧；
2、掌握利用二次函数解决利润最值问题的方法和技巧；
3、掌握利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题的方法和技巧；
4、掌握二次函数中的动点问题。
重、难点
二次函数的最值问题以及动点问题


课首沟通
1、还记得上节课所学的内容吗？能不能给老师简单复述一下，有没有哪些知识点或者题型不是很理解的？
2、上次课布置的作业做完了吗？
知识导图
课首小测

1. [单选题] 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列结论：
（1） ＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
（3） 是方程ax2+（b+1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜4时，ax2+（b+1）x+c＞0．其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. [单选题] 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A.y=（x+1）2+4 B.y=（x﹣1）2+4 C.y=（x+1）2+2 D.y=（x﹣1）2+2

3. [单选题] （2014年秋丰台区期末）二次函数y=﹣（x﹣3）2+1的最大值为（ ）
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3

4. [单选题] 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣

x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（ ）
A.6m B.12m C.8m D.10m

5. [单选题] 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣
x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m

6. 王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y=-2 +3x+ 相吻合，那么他能跳过的最大高度为
m．


导学一 ： 二次函数的最值问题
知识点讲解 1：利用二次函数解决面积最值问题（面积优化问题）

例 1. [单选题] （2015年春乐平市期末）长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A.y=x2 B.y=12﹣x2 C.y=（12﹣x）•x D.y=2（12﹣x）

例 2. [单选题] （2015年秋深圳校级期末）如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为
（ ）平方米．
A.800 B.750 C.600 D.2400

例 3. [单选题] （2011年兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）









C.
A. B. D.

例 4. 某养鸡场要用长100m的篱笆搭4间鸡舍，如图所示，其中一边靠墙（足够长）．若设另一边篱笆的长为xm，则整个鸡舍的面积S（m2）与x（m）之间的函数解析式是 ，鸡舍的最大面积为 m2．




例 5. （2014年秋永定县校级月考）如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y平方米．
（1） 求y与x的函数关系式；
（2） 如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长；
（3） 按题目的设计要求， （填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．






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1. [单选题] （2015年秋舒城县校级月考）一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，面积为
ycm2，则y与x的函数的关系式是（ ）
A.y=20x÷2 B.y=x（20﹣x） C.y=x（20﹣x）÷2 D.y=x（10﹣x）

2. [单选题] 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（
）
A.600m2 B.625m2 C.650m2 D.675m2

3. 把一根长100cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是 cm2．

4. （2015年秋嘉兴期末）如图，用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇tm宽门的长方形花圃． 设花圃宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为 ．



5. （2013年山东滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为
180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略 不计）．

知识点讲解 2：利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）

例 1. [单选题] （2012年秋宁波期中）一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件．若每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（ ）元．
A.5 B.10 C.0 D.15

例 2. [单选题] （2014年淮阴区校级模拟）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天 以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A.14元 B.15元 C.16元 D.18元

例 3. [单选题] （2015年秋威海期中）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的 函数关系为（ ）
A.y=10x2﹣100x﹣160 B.y=﹣10x2+200x﹣360 C.y=x2﹣20x+36 D.y=﹣10x2+310x﹣2340

例 4. （2015年秋云浮校级期中）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出； 当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时， 日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1） 公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为多少元（用含x的代数式表示）；
（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？












例 5. （2014年山东青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低 于成本．
（1） 求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2） 求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3） 如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围 内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）










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1. [单选题] （2013年秋潜山县校级月考）某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量
y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价 应定为（ ）
A.160元 B.180元 C.140元 D.200元

2. （2015年秋东莞校级期中）某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y=﹣ +2650，则当单价定价为每件 元时，可获得最大利润 元．

3. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单 价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20件，请写出利润y与单价x之间的函数关系式
．

4. （2015年秋平南县期末）某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变 化．已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图），则6楼房子的价格为 元/平方米．







5. （2014年石家庄模拟）某五金店购进一批数量足够多的Q型节能电灯，进价为35元/只，以50元/只销售，每天销售20 只．市场调研发现：若每只每降1元，则每天销售数量比原来多3只．现商店决定对Q型节能电灯进行降价促销活动，每只 降价x元（x为正整数）．在促销期间，商店要想每天获得最大销售利润，每只应降价多少元？每天最大销售毛利润为多 少？（注：每只节能灯的销售毛利润指每只节能灯的销售价与进货价的差）







导学二 ： 利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车船通行问题）
知识点讲解 1：二次函数在桥梁中的应用
例 1. （2014年绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ （x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时
的抛物线解析式是 ．

例 2. （2015年秋南京校级月考）如图，有一个抛物线的拱形立交桥，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？




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1. （2015年秋大石桥市期中）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶？









知识点讲解 2：二次函数在隧道中的应用

例 1. （2015年秋贾汪区期中）某隧道横断而由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．
（1） 以隧道横断而抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
（2） 某集装箱箱宽3m，车与箱的高一共是4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由

例 2. （2014年秋宝应县校级期中）如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度OM为18米． 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1） 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2） 求这条抛物线的解析式；
（3） 若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最 大值是多少？










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1. （2014年唐山一模）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：

（1） 求抛物线的解析式；
（2） 一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
（3） 如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
知识点讲解 3：二次函数在其他建筑问题中的应用

例 1. （2014年秋阜宁县校级月考）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面3米，装货宽度为2.4米．请按照如图建立的坐标系， 通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？






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1. （2012年秋秀洲区校级月考）某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，求水流下落点B离墙距离OB．



知识点讲解 4：二次函数在体育中的应用

例 1. [单选题] （2014年济南）你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、
2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐 标系如图所示）（ ）


A.1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m

例 2. （2013年香坊区校级模拟）在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是如图所示的抛物线，此抛物线的解析式为y=﹣ ．
（1） 求出该同学体育测试中，铅球飞行最远距离．
（2） 求此铅球飞行的最大高度．（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣ 时，y最大（小）值= ）




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1. [单选题] （2012年重庆模拟）初三某班一女生在一次投掷实心球的测试中，实心球所经过的路线为如图所示的抛物线 的一部分，请根据关系式及图象判断，下列选项正确的是（ ）


A.实心球的出手高度为 B.实心球飞出2米后达到最大高度
C.实心球在飞行过程中的最大高度为3米 D.该同学的成绩是8米


2. （2014年秋肇庆期末）如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果 他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则：
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 小孩将球抛出了约多少米（精确到0.1m）．
导学三 ： 二次函数的动点问题
知识点讲解 1

例 1. [单选题] （2015年淄博模拟）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以
2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从
A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A.1 B.2 C.3 D.4

例 2. （2014年秋伍家岗区期末）如图，点P、Q分别为矩形ABCD中AB、BC上两点，AB=18cm、AD=4cm，AP=2x，BQ=x，设
△ PBQ的面积为y（cm2）．
（1） 求y关于x的函数关系式；
（2） 求△ PBQ的面积取值范围．



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1. [单选题] （2015年吴兴区一模）如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形
OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式可能为（ ）










C.y=﹣
x2
A.y= x2 B.y=﹣ x2 D.y=﹣3x2

2. 如图在矩形ABCD中，AB=8cm，Bc=6cm，动点P，Q分别从A，B向B、C运动，运动速度为1cm/s，当P、Q一点停止运动则 另一点停止运动．设△PBQ的面积为y，点P、Q运动时间为x（s）．
（1） 求y与x的函数关系；
（2） 当x为多少时，五边形APQCD的面积最小，并求最小面积．


限时考场模拟 ： _20_分钟完成

1. [单选题] 在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中等腰直角三角形的腰长为20cm，矩形ABCD面积的最大值是（ ）。
A.100cm2 B.200cm2 C.50cm2 D.150cm2

2. [单选题] 某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y 与x的函数关系是( )
A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)2

3. [单选题] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售， 则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A.5元 B.10元 C.0元 D.6元

4. （2014年秋南岗区期末）抛物线拱桥横截面如图所示，当水面宽4米时，拱顶离水面2米，若水面上升1米，则水面宽 度将减少 米．






5. （2015年秋南京期末）某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况 下，在棚内的横向活动范围是 m．








6. （2012年无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图 中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上， 是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1） 若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2） 某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

7. （2015年秋潜江校级月考）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康 需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时， 可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商 每月要完成不低于450台的销售任务．
（1） 试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；
（2） 求售价x的范围；
（3） 当售价x（元/台）定为多少时，这种空气净化器所获得的利润能达到72000元？













8. （2012年吉林）如图，一单杆高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自 然下垂呈抛物线状．
（1） 一身高0.7m的小孩站在离立柱0.4m处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；
（2） 为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系上一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子正好 各为2米，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离．（供选用数据： ≈1.8， ≈1.9， ≈2.1）












9. （2010年秋吉林校级月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速 度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答 下列问题：
（1） 运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
（2） 设运动开始后第T秒时，五边形PQCD的面积为Scm2，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围；
（3） T为何值时S最小？求出S的最小值．

课后作业

1. [单选题] （2014年咸宁）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ） A.20 B.40 C.100 D.120

2. （2013年春富顺县校级月考）用长为8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗 户的最大透光面积是 （铝合金条遮光部分忽略不计）．





3. [单选题] （2015年秋江阴市期末）某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大 的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（ ）
A.5 B.7 C.9 D.10

4. [单选题] （2013年春富顺县校级月考）如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4 米，水位上升3米， 就达到警戒线CD，这时水面CD宽4 米．若洪水到来时水位以每小时0.25米的速度上升，那么水过警戒线后（ ）小时淹到拱桥顶。








A.6 B.12 C.18 D.24

5. （2015年秋西安校级月考）已知一个直角三角形两直角边的和为30，则这个直角三角形的面积最大为 ．

6. （2014年秋花垣县校级期末）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m 高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为 ．（精确到0.1m）






7. （2011哈尔滨）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的 面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1） 请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2） 当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
（参考公式：当x=﹣ 时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值 ）


8. （2016年当涂县四模）某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈 钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争 议的情境：请根据上面的信息，解决问题：
（1） 设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2） 请你判断谁的说法正确，为什么？


9. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了 促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买 该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1） 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2） 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量
x的取值范围．
（3） 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所 获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润最大，公司应将最低销售单价调整为多少 元（其它销售条件不变）？














1、复习求解二次函数的面积，利润等问题的方法；
2、完成对应的练习以及记录不会的内容，下次上课带过来问老师；
3、预习下一次课的内容。


课首小测
1.C
解析:根据题意可得a＜0，c＞0，则 ＜0，则①正确；根据题意可得对称轴为直线x＞1，则当x＞1时，y随x的增大而减小，则②正确；当x=4时，y=－4，a +bx+x+c=0，则x=4是方程a +(b+1)x+c=0的解，则③正确；④错误.
2.D
解析:本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可。 解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．故选：D。
3.A
解析:因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣（x﹣3）2+1最值． 解：∵二次函数y=﹣（x﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1），函数的最大值为1，故选：A． 4.D
解析:铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即﹣ x2+ x+=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
解：由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣ x2+ x+ =0，解方程得x1=10，x2=﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10 米．故选D．
5.C
解析:根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣ x2,即可解得x=±10，所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可得水面宽度AB为20m．故答案选C.
6.
导学一
知识点讲解 1：利用二次函数解决面积最值问题（面积优化问题） 例题
1.C
解析:解：∵ 长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴ 长方形的另一边长为12﹣x，
∴ y=（12﹣x）•x． 故选C．
2.A
解析:解：设矩形的面积为S，所围矩形ABCD的长AB为x米，由题意得S=x•（80﹣2x），
S=-2（x﹣20）2+800
∴当x=20时，S最大=800，且符合题意．
∴当所围矩形的长为40m、宽为20m时，能使矩形的面积最大，最大面积为800 m2． 故选A．
3.B
解析:解：∵ 根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴ 可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． 设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2

即s=x2+（1﹣x）2． s=2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上， 对称轴是直线x= ．
∴ 自变量的取值范围是大于0小于1．
故 选 ：B． 4.S=﹣5x2+100x；500
解析:解：设另一边篱笆的长为xm，则靠墙的边长为（100﹣5x）m，
∴S=x（100﹣5x）=﹣5x2+100x=﹣5（x﹣10）2+500， 所以当x=10m时，鸡舍的最大面积为500m2．
故答案为：S=﹣5x2+100x，500．
5.（1）y=﹣3x2+30x；（2）AB=7；（3）不能。
解析:解：（1）由题意得：y=x（30﹣3x），即y=﹣3x2+30x；
（2）当y=63时，﹣3x2+30x=63， 解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米；
（3）不能围成面积为80平方米的花圃． 理由：当y=80时，﹣3x2+30x=80，
整理得3x2﹣30x+80=0，
∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为80平方米的花圃． 故答案为不能．
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1.C
解析:解：根据一直角边长为xcm，则另一条直角边为（20﹣x）cm，根据题意得出： y=x（20﹣x）÷2．
故选：C． 2.B
解析:解：设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则S=x（50﹣x）
=﹣x2+50x
=﹣（x﹣25）2+625．
∵﹣1＜0，
∴S有最大值．
当x=25时，最大值为625． 故选B．
3.312.5
解析:解：设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，列方程得： y=（ ）2+（ ）2= （x﹣50）2+312.5，
由函数性质知：由于 ＞0，故其最小值为312.5cm2．

故答案为：312.5．
4.y=﹣2x2+（24+t）x
解析:解：由题意可得：y=x•（24+t﹣2x）=﹣2x2+（24+t）x． 故答案为：y=﹣2x2+（24+t）x．
5.当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3
解析:解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm．
∵90﹣x≥x，
∴0＜x≤45，
由题意得：y=x（90﹣x）×20
=﹣20（x2﹣90x）
=﹣20（x﹣45）2+40500
∵0＜x≤45，﹣20＜0，
∴当x=45时，y有最大值，最大值为40500．
答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．
知识点讲解 2：利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题） 例题
1.A
解析:解：设每件降价x元，利润为y元，每件的利润为（135﹣100﹣x）元，每天售出的件数为（100+4x）件，由题意， 得
y=（135﹣100﹣x）（100+4x），
=﹣4x2+40x+3500，
=﹣4（x﹣5）2+3600，
∴a=﹣4＜0，
∴x=5时，y最大=3600． 故选A．
2.C
解析:解：设每张床位提高x个2元，每天收入为y元． 则有y=（10+2x）（100﹣10x）
=﹣20x2+100x+1000．
当x=﹣ =2.5时，可使y有最大值． 又x为整数，则x=2时，y=1120；
x=3时，y=1120；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=10+3×2=16（元）． 故选C．
3.B
解析:解：根据题意得：y=（x﹣2）[50+10（13﹣x）] 整理得：y=﹣10x2+200x﹣360．
故选：B。
4.（1）1400﹣50x；（2）每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5000元；（3）4

解析:解：（1）由题意，得400+50（20﹣x）=1400﹣50x．
答：每辆车的日租金为（1400﹣50x）元
（2） 由题意，得y=x（1400﹣50x）﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000
∴a=﹣50＜0，
∴ 当x=14时，y最大=5000．
答：每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5000元
（3） 当 y=0 时 ， 0=﹣50（x﹣14）2+5000
解得：x1=24＞20（舍去），x2=4，
答：当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏．
5.（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当销售单价是80元时，利润最大为4500元；
（3）销售单价应该控制在82元至90元之间。 解析:解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
∴ y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴ 当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000， 解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000， 解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
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1.A
即
，
解得：
，
解析:解：设y=kx+b，将（130，70），（150，50）代入得：
∴y与x之间的一次函数关系式为：y=﹣x+200； 销售利润为S，由题意得：
S=（x﹣120）y
=﹣x2+320x﹣24000
=﹣（x﹣160）2+1600，
∴售价为160元/件时，获最大利润1600元．

故选：A． 2.50；2650
解析:解：∵ 销售利润y与销售单价x的关系为y=﹣+2650，
∴ 当单价定价为每件50元时，可获得最大利润2650元． 故 答 案 为 ：50，2650． 3.y=﹣20x2+1400x﹣20000（20＜x＜50）
解析:解：单价是x元，则销量是：400﹣20×（x﹣30）， 每件的盈利是x﹣20元，
则利润y=（x﹣20）[400﹣20×（x﹣30）]=﹣20x2+1400x﹣20000， 根据x﹣20＞0且400﹣20（x﹣30）＞0，解得：20＜x＜50． 4.5080
解析:解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+5200，由函数图象，得5080=a（2﹣4）2+5200，
解得：a=﹣30，
∴y=﹣30（x﹣4）2+5200， 当x=6时，
y=5080．
故答案为：5080。
5.每只应降价4元，每天最大销售毛利润为352元。
解析:解：由题意得：每天的销售毛利润W=（50﹣35﹣x）（20+3x）=﹣3x2+25x+300，
∴ 图象对称轴为 ，
∵ x为正整数，x=4或5且，
∴ x=4时，W取得最大值，最大销售毛利润为352元． 答：每只应降价4元，每天最大销售毛利润为352元．
导学二
知识点讲解 1：二次函数在桥梁中的应用例题
1.y=﹣ （x+6）2+4
解析:解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4， 将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4， 解得：a=﹣ ，
故答案为：y=﹣ （x+6）2+4．
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ （x+6）2+4．
2.15m
解析:解：由题意，知抛物线的顶点坐标为（20，16），点B（40，0），
∴可设抛物线的关系为y=a（x﹣20）2+16．

∵点B（40，0）在抛物线上，
∴a（40﹣20）2+16=0，
∴a=﹣ ．
∴y=﹣ （x﹣20）2+16．
∵竖立柱柱脚的点为（15，0）或（25，0），
∴当x=15时，y=﹣ （15﹣20）2+16=15m； 当x=25时，y=﹣ （25﹣20）2+16=15m．
∴铁柱应取15m．
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1.5小时
解析:解：根据题意建立坐标系如下：
设抛物线解析式为：y=ax2+h， 又∵B（4，0），D（2，3）







∴
，
解得：
，
∴y=﹣ x2+4，
∴M（0，4）即OM=4m
∴MN=OM﹣ON=1，
则t= =5（小时）．
答：水过警戒线后5小时淹到拱桥顶。
知识点讲解 2：二次函数在隧道中的应用例题
1.（1）y=﹣ x2；（2）不能。
解析:解：（1）如图，


设抛物线对应的函数关系式为y=ax2
抛物线的顶点为原点，隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m， 所以抛物线过点A（﹣3，﹣3），
代入得﹣3=9a， 解得a=﹣ ，
所以函数关系式为y=﹣ x2．
（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置， 将x=1.5代入抛物线方程，得y=﹣0.75，
此时集装箱角离隧道的底为5﹣0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25＜4.5． 从而此车不能通过此隧道．
2.（1）M（18，0），P（9，9）；（2）y=﹣ x2+2x；（3）22.5m
解析:解：（1）由题意可得：M（18，0），P（9，9）．
（2）设抛物线解析式为：y=a（x﹣9）2+9
∵ 抛物线y=a（x﹣9）2+9经过点（0，0）
∴ 0=a（0﹣9）2+9，即a=﹣ ，
∴ 抛物线解析式为：y=﹣ （x﹣9）2+9，即y=﹣x2+2x．
（3）设A（m，0），则B（18﹣m，0），C（18﹣m，﹣ m2+2m），D（m，﹣ m2+2m）． 则“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣ m2+2m）+（18﹣2m）+（﹣ m2+2m）
=﹣ m2+2m+18
=﹣ （m﹣4.5）2+22.5．
∵ 此二次函数的图象开口向下．
∴ 当m=4.5米时，AD+DC+CB有最大值为22.5米．
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1.（1）y=﹣ +6；（2）可以通过；（3）可以通过。解析:解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y=a（x﹣4）2+6， 又因为点A（0，2）在抛物线上， 所以有2=a（0﹣4）2+6．
所以a=﹣ ．
因此有：y=﹣ +6．

（2）令y=4，则有4=﹣ +6，

解得x1=4+2 ，x2=4﹣2 ，
|x1﹣x2|=4 ＞2，
∴ 货车可以通过；
（3）由（2）可知 |x1﹣x2|=2 ＞2，
∴货车可以通过．
知识点讲解 3：二次函数在其他建筑问题中的应用例题
1.可以通过
解析:解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2． 将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得y≈﹣1.6，
∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8＜3，
因此这辆汽车不可以通过大门．
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1.3m
解析:解：设抛物线解析式：y=a（x﹣1）2+ ，
把点A（0，10）代入抛物线解析式得：10=a+ ， 解得：a=﹣ ，
故抛物线解析式：y=﹣ （x﹣1）2+ ． 令y=0时，则﹣ （x﹣1）2+ =0，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3， 即可得OB=3米．
答：水流下落点B离墙距离OB为3米．
知识点讲解 4：二次函数在体育中的应用

例题
1.B
解析:解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
因为抛物线过点（﹣1，1）、（3，1）、（0，1.5） 所以有：

．



解之得 ．


所以y=﹣ x2+ x+1.5．
当x=1.5时，y= =1.625．
即丁的身高是1.625米． 故选B．
2.（1）6+2 ；（2）5。解析:解：（1）当y=0时， 0=﹣ ．
解得：x1=6+2 ，x2=6﹣2 ．
∴ 铅球飞行最远距离是6+2；
（2）∵ y=﹣． y=﹣ （x﹣6）2+5，
∴当x=6时，铅球飞行的最大高度是5．
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1.D
解析:解：由函数解析式可得：当x=0时，y= ，即出手时的高度为 ，故A选项错误；
函数的顶点坐标为（3， ），即可得当实心球飞出3米后达到最大高度，最大高度为 米，故B、C错误； 当y=0时，解得x1=8，x2=﹣2（舍去）．即可得该同学的成绩为8米．
故选D．
2.（1）y=﹣ （x﹣8）2+9；（2）14.5米。
解析:解：（1）由题意可得出：抛物线的顶点坐标为：（8，9），A（0，1）， 设抛物线解析式为：y=a（x﹣8）2+9，
将（0，1）代入得：1=a（0﹣8）2+9， 解得：a=﹣ ．
故抛物线解析式为：y=﹣ （x﹣8）2+9；
（2）当y=0，则0=﹣ （x﹣8）2+9，
解得：x1=8+6 ≈14.5，x2=8﹣6 ≈﹣0.5（不合题意舍去）， 答：小孩将球抛出了约14.5米．
导学三

知识点讲解 1 例题
1.C
解析:解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2， 则有：S=S△ABC﹣S△PBQ
= ×12×24﹣ ×4t×（12﹣2t）
=4t2﹣24t+144
=4（t﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值． 故选：C．
2.（1）y=﹣x2+9x（0＜x≤4）；（2）0＜x≤20。
解析:解：（1）∵ S△PBQ= PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，
∴ y= （18﹣2x）x，
即y=﹣x2+9x（0＜x≤4）；
（2）由（1）知：y=﹣x2+9x，
∴ y=﹣（x﹣ ）2+ ，
∵ 当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴ 当x=4时，y最大值=20，
即△ PBQ的取值范围0＜x≤20．
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1.B
解析:解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，
∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，
∴∠AOE=75°，
∵∠AOB=45°，
∴∠BOE=30°，
∵OA= ，
OB=1，
∴OB=2，
∴BE=
∴OE= = ，
∴点B坐标为（ ，﹣1）， 代入y=ax2（a＜0）得a=﹣ ，
∴y=﹣ x2，
故选B．










2.（1）y=﹣ x2+4x；（2）当x=4时，五边形APQCD的面积最小值40cm2
解析:解：（1）BP=8﹣x，BQ=x， y= x（8﹣x）=﹣ x2+4x；
（2）∵y=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，
∴ 当x=4时，△PBQ的面积的最大值是8，
∴ 当x=4时，五边形APQCD的面积最小值6×8﹣8=40cm2．
限时考场模拟
1.A
解析:解：如图，
∵ AB∥CD，∴ AB+BC=20，
设矩形的一条边长是xcm，另一边就是（20﹣x）cm，设矩形的面积为ycm2
∴ y=x（20﹣x）， y=﹣x2+20x=﹣（x﹣10）2+100（0＜x＜20），
∴ x=10时，y有最大值100． 则矩形的最大面积为100cm2． 所以选A。
2.D
3.A
4.4﹣2
解析:解：设抛物线的解析式为y=ax2，由题意，得
﹣2=4a，
解得：a=﹣ ，
∴y=﹣ x2， 当y=﹣1时，
﹣1=﹣ x2，
解得：x=± ，
∴水面宽度减少了（4﹣2 ）米． 故答案为：4﹣2 ．
5.3
解析:解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b，

由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8， 则1.8=﹣ x2+2.4，
解得：x= （负值舍去）
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米. 故答案为：3．
6.（1）432 cm3；（2）x=8
解析:解：（1）根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体， 知这个正方体的底面边长NQ=ME= x，则QE=QF= x，故EF= ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24， 解得：x=6，
则 正方体的底面边长a=6， V=a3= =432 （cm3）；
答：这个包装盒的体积是432 cm3；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= ，h= ，
∴S=4ah+a2=4 x （12﹣x）+ =﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，
∵0＜x＜12，
∴ 当x=8时，S取得最大值384cm2．
7.（1）y=﹣5x+2200；（2）300≤x≤350；（3）售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润是
72000元。
解析:解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台， 则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+5（400﹣x）， 化简得：y=﹣5x+2200；
（2） 根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则 ，
解得：300≤x≤350．
所以x的取值范围为：300≤x≤350；
（3） 设这种空气净化器所获得的利润为W，W=（x﹣200）（﹣5x+2200）， 把W=72000代入得﹣5（x﹣320）2+72000=72000，
解得x=320，

∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，这种空气净化器所获得的利润能达到为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润是72000元．
8.（1）0.2m；（2）0.3m。
解析:解：（1）如图，设二次函数为：y=ax2+c
∵ D（﹣0.4，0.7），B（0.8，2.2）
∴

∴

∴ 绳子最低点到地面的距离为0.2米．
（2） 分别作EG⊥AB于G，E、FH⊥AB于H， AG= （AB﹣EF）= （1.6﹣0.4）=0.6
在Rt△AGE中，AE=2，EG= ≈1.9
∴ 2.2﹣1.9=0.3（米）
∴ 木板到地面的距离约为0.3米．
9.（1）2秒或4秒；
（2）S=72﹣S△ PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；
（3） 当t=3秒时，S有最小值63cm2．
解析:解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2． 则AP=x，QB=2x．
∴PB=6﹣x．
∴ ×（6﹣x）2x=8， 解得x1=2，x2=4．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．
（2）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm， 故S△PBQ= •（6﹣t）•2t=﹣t2+6t
∵S矩形ABCD=6×12=72．
∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；
（3）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，
∴当t=3秒时，S有最小值63cm2．
课后作业
1.D
解析:解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得

x2﹣20x+a=0，
∵ △ =400﹣4a≥0， 解得a≤100，
故选：D．
2. m2
解析:解：设窗的高度为xm，宽为（ ）m， 故S= ．
∴ =x（4﹣x），
即S=﹣ （x﹣2）2+．
∴ 当x=2m时，S最大值为m2． 3.C
解析:解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k﹣1）个档次，所以每天利润为y=[60﹣3（k﹣1）][8+2（k﹣1）]=﹣6（k﹣9）2+864
所以，生产第九档次产品获利润最大，每天获利864元． 故选C．
4.B
∴
，
解得：
，
∴y=﹣ x2+6
解析:解：根据题意设抛物线解析式为：y=ax2+h 又∵B（2 ，0），D（2 ，3）







∴M（0，6）即OM=6m
∴MN=OM﹣ON=3，
则t= =12（小时）．
答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 故选：B．
5.112.5
解析:解：设一条直角边为x，则另一条为（30﹣x）， 则S= x（30﹣x）=﹣（x﹣15）2+112.5，
∵﹣ ＜0，
∴当x=15时，S最大= ×15×15=112.5． 故答案为：112.5．
6.6.9m
解析:解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，

则抛物线过A（0，0）、B（8，0）、C（1、3）、D（7、3）四点， 设该抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，

则 ，

解得：


．


函数解析式为：y=﹣ x2+ x．
当x=4时，可得y=﹣ + = ≈6.9米． 故答案为：6.9 m．
7.（1）S=﹣ x2+30x；（2）30cm；450 cm 2
解析:解：（1）∵ 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm， 菱形的面积S（单位：cm2），其中一条对角线的长x，
∴ 另一条对角线的长（60﹣x）cm，
∴ S= x（60﹣x）=﹣ x2+30x；
（2）∵S=﹣ x2+30x；a=﹣ ＜0，
=30，
=
∴ S有最大值，

∴ x=﹣ =﹣


S的最大值为 =450，

∴ 当x为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm 2． 8.（1）56-2x；（2）小娟的说法正确；理由见解析.
解析:（1）设AB=x米，可得BC=54-2x+2=56-2x；
（2） 小娟的说法正确；
矩形面积S=x（56-2x）=-2（x-14）2+392，
∵56-2x＞0，
∴x＜28，
∴0＜x＜28，
∴当x=14时，S取最大值， 此时x≠56-2x，
∴面积最大的不是正方形．
9.(1) 商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
(2) 当0≤x≤10时，y=600x；当10＜x≤50时，y =-10x2+700x；当x＞50时，y =200x；
(3) 公司应将最低销售单价调整为2750元． 解析:（1）设件数为x，根据题意，
得：3000-10（x-10）=2600，
解得：x=50，
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
（2）由题意，得：3000-10（x-10）≥2600， 解得：x≤50，

当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=[3000-2400-10（x-10）]x=-10x2+700x； 当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x；
（3） 由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下， 当x=- =35时，利润y有最大值，
此时销售单价为；3000-10×（35-10）=2750（元）， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元．