4.2圆心角与圆周角、圆内接四边形 教案

圆心角与圆周角、圆内接四边形(2017版)

课首沟通

1. 学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？
2. 上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？

知识导图

课首小测

1.   [单选题] （2016年广州市天河期末考试题） 如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C和点D，则DC的长为（              ）

A．2 B．4 C．   D．2

2.   [单选题] （2016年广州市白云区期末考试题） 已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD=8cm，AB⊥CD，那么圆心O到CD的距离是（ ）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

3. 如图，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心  ，则折痕 的长为              

4. 如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=               

5. ⊙O的半径为13  cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是          Cm

6. （2015年广州市越秀区期末考试题） 如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．

导学一 ： 圆心角

知识点讲解 1：弧、弦、圆心角

1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
2. 定理：

（1）  在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）  在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

（3）  在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。与弦不存在倍数关系。

例 1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（ ）

A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC

例 2. 指出下列哪些是∠AOB所对应的弦和弧？

例 3. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A/OB/的位置你能发现哪些等量关系？为什么？完成下面的填空题。

（1）  在           中，相等的       所对的     相等，所对的    也相等。

（2）  同样：在            中，如果       相等，那么它们所对的圆心角      ，所对的弦        

（3）  在           中，如果       相等，那么它们所对的圆心角      ，所对的弧              。

【学有所获】在             中，两个       、      、       中有       相等， 它们所对应的     也相等。

[学有所获答案]同圆或等圆，圆心角，弦，弧，一组，另外两组

例 5. 如图，在⊙O中，  = ,∠ACB=600, 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC。

例  6.  如图所示，AB是⊙0的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆与点D，求证：  =

例 7. 如图，AB，CD是圆O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你来猜想一下， = 吗？请加以说明．

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1. [单选题] 下列说法中正确的是( )

A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等

C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等

2. [单选题]  在圆O中，圆心角∠AOB＝80°，圆心角∠COD＝40°，那么下列说法中正确的是( )

A．弧AB=2弧CD B．弧AB＜2弧CD C．弧AB＞2弧CD D．AB＝2CD

3. [单选题]  如图，C，D为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( )

①AD=CD=BC

②∠AOD=∠DOC=∠BOC

③AD=CD=OC

④△AOD沿OD翻折与△COD重合

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4. [单选题] 在圆O内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且 O的半径为R，那么这条弦的长为( )

A．R B．2R C．  R D．  R

5. 如图，AB是圆O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是圆O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝            ，∠ COF

＝        .

6. 如图，已知圆O中的弦AB=CD，求证：AD=BC.

7. 如图，在圆O中弦AB=AC，AD是圆O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．

导学二 ： 圆周角

知识点讲解 1：圆周角定理及其推论

1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆周角推论：

（1）  同弧或者等弧所对的圆周角相等。

（2）  半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。例 1. [单选题] 下列四个图中，∠x是圆周角的是（              ）

例 2. 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的猜想并说明理由.

【学有所获】      所对的圆周角等于它所对的圆心角的      。

[学有所获答案]同弧或等弧，一半。

例 3. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

例 4. （2016年广州市越秀区期末考试题） 如图A、B、P、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状， 并证明你的结论．

例 5. （2015年广州市越秀区期末考试题） 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在☉O上．

（1）  若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；

（2）  若OC=3，OA=5，求弦AB的长．

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1. [单选题] （2015年广州市花都区期末考试题） 如图所示，在⊙O中，∠AOB=70°，则∠ACB=（ ）

A．70° B．140° C．35° D．30°

2. [单选题] 如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为

（ ）

A．36° B．46° C．27° D．63°

3. [单选题]  如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）

A．116° B．32° C．58° D．64°

4. 如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交 于M、N两点，则∠APB的范围是

     ．

5. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的度数是         ．

6. 如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点

（与A、B不重合），则∠APB=     ．

7. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

导学三 ： 圆内接四边形

知识点讲解 1：圆内接四边形的概念及其性质

（1）  圆内接多边形：如果一个多边形的各个顶点都在圆上，这个多边形就叫做圆的内接多边形。反过来，这个圆也叫做 多边形的外接圆。

（2）  圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补。

（3）  多边形外接圆的圆心为外心，是各边垂直平分线的交点；多边形内切圆的圆心为内心，是各角平分线的交点。 例 1. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，求证：∠A+∠C＝180°

【学有所获】圆内接四边形对角      。

[学有所获答案]互补。

例 2. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，求证：∠A＝∠DCE

【学有所获】圆内接四边形的一个外角等 。

[学有所获答案]内对角。

例 3. （1）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=

∠CDE=      

， ∠B+∠ADC=      ;若∠B=80°，则∠ADC=   ，

（2）  四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°则∠B=      ∠D=      

（3）  四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=     ,

例 4. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是       ．

例 5. 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．

例 6. 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，

∠BMO=120°．

（1）  求证：AB为⊙C直径．

（2）  求⊙C的半径及圆心C的坐标．

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1. 
   [单选题]  如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ）

A、115° B、130° C、65° D、50°

2. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=           。

3.   已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。

4. 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

限时考场模拟 ：      20     分钟完成

1. 
   [单选题] （2016年广州市海珠区期末考试题） 如图，在圆O中，∠AOC=160°，则∠ABC=（ ）

A．20° B．40° C．80° D．160°

2.   [单选题] （2015年广州市荔湾期末考试题） 如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD 等于（              ）

A．100° B．110° C．120° D．135°

3.   [单选题] 如图，O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A，B和C，D，则AB 与CD的关系是(              )

A.AB＝CD B.AB＞CD C.AB＜CD D.无法确定

4. 
   如图，AB，CD是圆O的弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，那么            ．(写出一个正确的结论即可)

5. 如图，在圆O中，= ，∠B＝50°，则∠A＝             .

6. （2015年广州市天河期末考试题） 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数．

7. 如图，在 ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交AD于点F，交BC于点G，BA的延长线交 A于点E，求证：弧EF=弧FG.

课后作业

1. 
   [单选题] （2015年广州市番禺区期末考试题） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）

A．40° B．50° C．80° D．100°

2. [单选题]  已知圆O中，劣弧AB=2弧CD，则弦AB与CD的关系是( )

A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定

3. [单选题] （2016年广州市荔湾期末考试题） 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠OAB=40°，则∠BOC等于（

）

A．40° B．50° C．70° D．80°

4. 
   [单选题] （2016年广州市越秀区期末考试题） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（ ）

A．30° B．40° C．60° D．80°

5. （2016年广州市荔湾区期末考试题） 如图，点A、B、C、D分别是⊙O上四点，∠ABD=20°，BD是直径，则

∠ACB=     ．

6. 
   如图，AB，CD是圆O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为            ．

7. 
   如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=         ．

8. （2015年广州市天河期末考试题） 如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．

（1）  BE与IE相等吗？请说明理由．

（2）  连接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

1、总结复习这节课的知识点。

2、完成老师规定的作业，制定相应的学习安排，做好错题集。

3、做好下一阶段的学习笔记，做到下一讲“有备而来”。

课首小测

1.D

2.C

解析:

解：如图所示：

∵⊙O的直径AB=10cm，弦CD=8cm，AB⊥CD，

∴CE= CD= ×8=4cm，OC= AB= ×10=5cm，

连接OC，

在Rt△OCE中，OE= = =3cm． 故选C．

3.2 cm 4.3

5.17或7

6.⊙O的半径是4 。

解析:解：连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，

∵AC=4，CB=8，

∴AB=12．

∵OD⊥AB，

∴AD=DB=6，

∴CD=2，

在Rt△CDO中，∠CDO=90°，OC=4，CD=2，

∴OD=2

在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理得：OA= =4 ，

∴⊙O的半径是4 ．

导学一

知识点讲解 1：弧、弦、圆心角例题

1.C

2.∠AOB所对应的弦是AB;∠AOB所对应的弧是 。

3.（1）同圆或等圆，圆心角，弧，弦；

（2）  同圆或等圆，两条弧，相等，也相等；

（3）  同圆或等圆中，两条弦，相等，也相等。4.D

5.证明：∵ =

∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。又∠ACB=600

∴△ABC是等边三角形，AB=AC=BC。

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC。

6.证明：连结OC、OD，

∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，

∴OM=ON，

∵CM⊥AB，DN⊥AB，

∴∠OMC=∠OND=90°，

∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），

∴∠COM=∠DON，

∴ =

7.解： = .

理由如下：如图，过点O作OH⊥AB于点H. 在△AOB中，因为OA＝OB，HO⊥AB，

所以∠AOH＝∠BOH.

在△EOF中，因为OE＝OF，OH⊥AB，

所以∠EOH＝∠FOH.所以∠AOE＝∠BOF.

根据在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，可得 = .

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1.B

2.A

3.C

4.C

5.36°；108°。

6. 证明：∵AB＝CD，∴

∴ .∴ ，即AD＝BC.

7. 解：BD与CD相等．理由如下： 方法一：∵AB＝AC，

∴ .

∵ ，

∴ .∴BD＝CD.

方法二：如图，连接OB，OC.

∵ ，∴∠AOB＝∠AOC.

∴∠BOD＝∠COD.∴BD＝CD.

导学二

知识点讲解 1：圆周角定理及其推论例题

1.C

2. 图一，设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∴∠AOC=∠ABO

图二，连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此

∠AOC=2∠ABC．

图三，连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD-

3. 解：BD=CD

理由是：连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB

∴BD=CD

解析:

BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

4. 解：△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中

∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，

∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴△ABC为等边三角形．

5.解：（1）∵OD⊥AB，

∴ = ，

∴∠DEB= ∠AOD= ×54°=28°．

（2）∵OC=3，OA=5，

∴AC=4，

∵OD⊥AB，

∴弧AD=弧BD= 弧AB，

∴AC=BC= AB=4，

∴AB=8．

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1.C

2.A

3.B

4.小于30°

5.45°

6.30°

7.

导学三

知识点讲解 1：圆内接四边形的概念及其性质例题

1.连接OB,OD。

∵∠A= ∠B0D(钝角)，∠C= ∠BOD（锐角）

∴∠A+∠C= ×360=180° 2.∵∠A＋∠BCD=180°，∠BCD＋∠DCE=180°

∴∠A=∠DCE. 3.（1）180°，180°，100°，80°；（2）50°，130°；（3）135°

4.

5.

6.（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C直径；

（2）半径为4，C ）

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1.A

2.120°

3.∵四边形ABCD为圆的内接四边形

∴∠A+∠C=180°

又∵在平行四边形ABCD中，∠A=∠C

∴∠A=∠C=90°

∴四边形ABCD为矩形。4.∵ AB是直径．

∴∠ACB＝∠ADB=90°．

在 Rt△ABC 中 ，                  BC= （cm）．

∵ CD平分∠ACB，

∴ ．

∴ AD=BD．

又在Rt△ABD中， AD2＋BD2=AB2，

∴ AD=BD=AB= ×10=5 （cm）．

限时考场模拟

1.C

解析:

解：根据圆周角定理得：∠ABC= ∠AOC， 又∵∠AOC=160°，

∴∠ABC=80°． 故选：C．

2.C

解析:

解：连接OC、OD，

∵BC=CD=DA，

∴∠COB=∠COD=∠DOA，

∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，

∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，

∴∠BCD= ×2（180°﹣60°）=120°．

故选C．

3.A

4.答案不唯一，如： ，OE＝OF等．

5.80°。

6. 解：∵在⊙O中，OA⊥BC，

∴ = ，

∵∠CDA=35°，

∴∠AOB=2∠CDA=70°

7. 证明：如图，连接AG，∵在 ABCD中，AD∥BC，

∴∠GAF＝∠AGB，∠B＝∠EAF. 又在 A中，AB＝AG，

∴∠AGB＝∠B.

∴∠GAF＝∠EAF.

∴ .

课后作业

1.D

2.C

3.B

4.A

5.70°．

6.AC=AE

7.90°

8.证明：（1）如图1，连接BI，

∵I是△ABC的内心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠BIE=∠1+∠3，

∠IBE=∠5+∠4， 而∠5=∠1=∠2，

∴∠BIE=∠IBE，

∴IE=BE．

（2）四边形BECI是菱形， 如图2∵∠BED=∠CED=60°，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴BE=CE，

∵I是△ABC的内心，

∴∠4= ∠ABC=30°，∠ICD=30°，

∴∠4=∠ICD，

∴BI=IC，

由（1）证得IE=BE，

∴BE=CE=BI=IC，

∴四边形BECI是菱形．