高中数学高考考点29 三角函数的图象与性质（原卷版）

这是一份高中数学高考考点29 三角函数的图象与性质（原卷版），共6页。
【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.
【基础知识回顾】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2、下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是减函数
3、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
4、下列关于函数的说法正确的是
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线成轴对称
5、 函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调减区间为______________．
6、 函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象与x轴交点的坐标是________________．
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \r(sinx－csx)的定义域为
(2)函数y＝eq \r(1－2csx)＋lg(2sinx－1)的定义域为
．
变式1、 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________.
(2)函数y＝lg(sin x)＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________.
变式2、函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、（1）[2017·全国Ⅱ高考]函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin2x＋eq \r(3)csx－eq \f(3,4)(x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))的最大值是____．
(2)函数y＝eq \f(sinx－2,sinx－1)的值域为_ __．
(3)函数f(x)＝cs2x＋6cs(eq \f(π,2)－x)的最大值为____．
变式1、(1)函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．
(2)设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________．
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为___________________________________．
变式2、函数的最大值为________，最小值为________．
方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
考向三 三角函数的单调性
例3、写出下列函数的单调区间：(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；(2)y＝|tan x|．
变式1：已知ω＞0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是____________．
变式2：函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的单调递增区间为_______________．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（1） 函数y＝－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＋1是________．
= 1 \* GB3 ①最小正周期为π的奇函数； = 2 \* GB3 ②最小正周期为π的偶函数；
= 3 \* GB3 ③最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数； = 4 \* GB3 ④最小正周期为eq \f(π,2)的非奇非偶函数．
（2）当x＝eq \f(π,4)时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－x))满足________．
= 1 \* GB3 ①是奇函数且图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称； = 2 \* GB3 ②是偶函数且图象关于点(π，0)对称；
= 3 \* GB3 ③是奇函数且图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称； = 4 \* GB3 ④是偶函数且图象关于直线x＝π对称．
（3） 函数y＝cs(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．
变式1、(1)若函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))，φ∈(0，π)为偶函数，则φ的值为____．
(2)若函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，则ω的最小值为____．
变式2、下列函数，最小正周期为的偶函数有
A．B．C．D．
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图象大致为
A．B．
C．D．
2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④D．①③
3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cs2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cs|x| D．f(x)=sin|x|
4、【2018年高考全国卷II理数】若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
5、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
6、【2020年高考全国III卷理数】.关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
7、【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________．函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)