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高中数学高考考点35 直线的位置关系-备战2022年高考数学 考点一遍过(1)
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这是一份高中数学高考考点35 直线的位置关系-备战2022年高考数学 考点一遍过(1)，共27页。试卷主要包含了两条直线的位置关系，两条直线的交点，距离问题，对称问题等内容，欢迎下载使用。
考点35 直线的位置关系
（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
二、两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
三、距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
四、对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
考向一 两直线平行与垂直的判断及应用
由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.
典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】直线经过，两点，
直线的斜率：，
直线的倾斜角为，直线的斜率，
，.
故选A.
典例2 若直线与直线互相平行，则的值为
A．4 B．
C．5 D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，
因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，
于是有且，解得，
故选C．
【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.
1．“”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线，．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求过直线与的交点，且与原点的距离为1的直线的方程.
考向二 两直线的相交问题
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.
2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.
典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.
【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,
由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
3．当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？
考向三 距离问题
1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例4 （1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为_________；
（2）若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．
【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°
【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝．
∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．
方法二：当AB∥l时，有kl＝kAB＝，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．
当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1．
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．
（2）显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离，
设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=，
过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|=d=，
在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，
又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，
故直线m的倾斜角θ =15°或75°．
4．若直线与平行，则两直线间的距离为
A． B．
C． D．
5．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是
A． B．
C． D．
考向四 对称问题
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:
（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=−1，
∴·3=-1， ①
又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，
∴3·-+3=0. ②
联立①②，解得.
（1）把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，
即7x+y+22=0.
6．与直线关于轴对称的直线方程为
A． B．
C． D．
7．已知点为直线上任意一点，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
考向五 直线过定点问题
求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】详见解析.
【解析】证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
证法二：以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，所以，解得x＝2，y＝－3.
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．
8．已知点，点，直线l：（其中）．
（1）求直线l所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．
1．过两直线3x＋y−1=0与x＋2y−7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是
A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0
C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0
2．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
3．在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是
A． B．
C． D．或
4．直线与直线垂直，垂足为，则
A． B．
C． D．
5．若点到直线的距离为，则
A． B．
C． D．
6．若直线l1:y=k(x−4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点
A．(0,4) B．(0,2)
C．(−2,4) D．(4,−2)
7．点P（-3，4）关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是
A． B．
C． D．
8．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为
A． B．
C． D．
9．设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为
A． B．
C． D．
10．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A．， B．，
C．， D．，
11．已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则(14)m+(12)n的最小值为
A．-3 B．3
C．16 D．4
12．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为
A． B．
C． D．
13．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为
A． B．
C． D．
14．若直线2x+ay-7=0与直线(a-3)x+y+4=0互相垂直，则实数a= .
15．若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点________．
16．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则x2 ＋ y2的最小值等于__________.
17．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则__________．
18．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_________.
19．一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．
20．已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .
21．已知直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0相交于点P
（1）求交点P的坐标；
（2）设直线l3:3x-4y+5=0，分别求过点P且与直线l3平行和垂直的直线方程.
22．已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离.
23．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程.
24．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.
（1）求点关于直线对称点的坐标；
（2）求反射光线所在直线的一般式方程．
25．已知直线，点.求：
（1）直线关于直线的对称直线的方程；
（2）直线关于点对称的直线的方程.
26．已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.
（1）若l1⊥l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.
（2）是否存在实数a,b,使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.
27．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是.
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
变式拓展
1．【答案】A
【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线垂直；
当时，两直线也垂直，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
2．【解析】（1）因为，所以，故.
（2）当时，即时，直线与的交点的坐标为，
设过交点的直线为（当直线的斜率不存在时显然不满足距离为1的条件），根据点到直线的距离公式有：，解得.
所以直线的方程为.
3．【解析】由得，
即两直线的交点坐标为，
，解得：.
4．【答案】C
【解析】由可得，解得，
所以，，
则两条平行直线与间的距离．
故选C．
5．【答案】B
【解析】因为点在直线上运动，所以设点的坐标为，由两点间的距离公式可知：，显然时，有最小值，最小值为，此时点的坐标是，故选B．
6．【答案】A
【解析】设对称直线上的点为，
则其关于轴的对称点在直线上，
所以，即，
故选A．
7．【答案】A
【解析】当为坐标原点时，，此时，为最小值.
设关于对称的点为，
则：，解得，此时，
又，得直线平行于，
可知必构成三角形，
，
即，
综上所述：.
故选A.
8．【解析】（1）直线方程可化为：，
由解得即直线l过定点.
（2）由平行线的斜率为得其倾斜角为，
又水平线段，
所以两平行线间的距离为，
而直线被截线段长为，
所以被截线段与平行线所成的夹角为，即直线与两平行线所成的夹角为，
所以直线的倾斜角为或．
由（1），知直线l过定点，
则所求直线为或．
【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间的距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.
（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.
（2）根据平行线间的距离公式，求得平行线间的距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】由，得，即交点为(−1,4)．
∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为.
∴由点斜式方程得所求直线方程是y−4=(x＋1)，即x−3y＋13=0.
2．【答案】C
【解析】由题意知：，，，
当时，与没有公共点，，
当时，与有公共点，∴与重合，
∴与平行或重合.
故选C.
3．【答案】D
【解析】设，则，，
∵，，则，
则：，解得：或，
点的坐标为或.
故选D.
4．【答案】B
【解析】∵直线与直线垂直，∴，∴，
∴直线即为．
将点的坐标代入上式可得，解得．
将点的坐标代入方程得，解得．
∴．
故选B．
【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点．根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值．
5．【答案】B
【解析】由题意得.
故选B.
6．【答案】B
【解析】因为直线l1:y=k(x−4)过定点(4,0)，所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l2过定点(x,y)，则，解得x=0,y=2.故直线l2过定点(0,2).
7．【答案】B
【解析】设点P（-3，4）关于直线l：x+y-2=0的对称点Q的坐标为(x,y)，
可得PQ中点的坐标为（），
利用对称性可得：，且，
解得：，y=5，
点Q的坐标为（-2，5）.
故选B．
8．【答案】A
【解析】联立，解得，．
∵三条直线，，相交于同一点，
∴．
则点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离．
故选A．
9．【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
直线与直线的交点为，为的中点，
若，则即解得．
故选A．
10．【答案】A
【解析】是方程的两个实根，，，两条直线之间的距离，，，，，
两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.
故选A.
【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.
11．【答案】C
【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以m2+(n-4)2=(m+8)2+n2,即2m+n=-6,
又(14)m>0,(12)n>0,所以(14)m+(12)n≥2(14)m·(12)n=2(12)2m+n=2(12)-6=16,
当且仅当2m+n=-6(14)m=(12)n,即2m=n=-3时取等号.
12．【答案】D
【解析】因为三条直线，，不能构成三角形，所以直线与或平行，或者直线过与的交点，直线与，分别平行时，，或，直线过与的交点时，，所以实数的取值集合为.
故选D.
13．【答案】C
【解析】直线：，即，
令，求得，，可得该直线恒过点.
直线：上有一动点，点的坐标为，
故、都在直线：的上方．
点关于直线：的对称点为，
则直线的方程为，即.
联立，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为．
故选C．
14．【答案】2
【解析】由题得，2(a-3)+a×1=0,解得a=2.
故答案为2.
15．【答案】
【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，
∴点在直线上，即直线恒过定点，
故答案为.
16．【答案】
【解析】因为实数x，y满足5x＋12y＝60，所以x2 ＋ y2表示原点到直线5x＋12y＝60上点的距离．
所以x2 ＋ y2的最小值表示原点到直线5x＋12y＝60的距离．
容易计算，即所求x2 ＋ y2的最小值为6013．
17．【答案】
【解析】设线段的中点为，则点，则对折后,对折直线l的方程为;
设直线的方程为，∵点在直线上，∴，则直线的方程为;
设直线与直线的交点为则解方程组得.即，
则，∴.
18．【答案】
【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为
∴当时，取得最小值．
故答案为．
【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值．
19．【答案】−2
【解析】如图所示：
作点关于轴的对称点，则点在直线上，由对称性可知，
则光线所在直线的斜率，故答案为.
【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键.
20．【答案】2x-y-3=0
【解析】由平面几何知识,得当l1⊥AB时,l1,l2之间的距离最大.
∵A(2,1),B(0,2),∴kAB=-12,kl1=2.
则直线l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
21．【解析】（1）由 x-2y+4=0x+y-2=0 ，得x=0y=2 ，
∴P(0,2).
（2）与l3平行直线方程y-2=34x，即3x-4y+8=0.
与l3垂直的直线方程y-2=-43x，即4x+3y-6=0.
22．【解析】（1）由l1⊥l2知a+3(a-2)=0，解得a=32.
（2）当时，有a(a-2)-3=03a-(a-2)≠0,解得a=3，
l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，
所求距离为d=|9-1|32+32=423.
【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：
（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；
（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.
23．【解析】（1）边上的高为，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
因为直线的方程为，
所以 解得，
所以.
（2）设，由为中点，得的坐标为，
则，解得，
所以，
又因为，所以直线的方程为，
即直线的方程为.
24．【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，
解得，
即点关于直线l的对称点为．
（2）由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为即.
25．【解析】（1）在直线上取一点，
则关于直线的对称点必在上.
设对称点为，则
解得.
设与的交点为，则由得.
又∵经过点，
∴由两点式得直线的方程为.
（2）设为上任意一点，则关于点的对称点为.
∵在直线上，
∴，即.
故直线的方程为.
26．【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,
∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即a=43(矛盾).
∴此种情况不存在,
∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.
∵k2=1-a,k1=ab,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即ab(1-a)=-1. ①
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0. ②
由①②联立,解得a=2,b=2.
（2）不存在,理由如下:
∵l2的斜率存在,l1∥l2,
∴直线l1的斜率存在.
又坐标原点到这两条直线的距离相等,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4b=-b,该方程无实数解.
∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
27．【解析】（1）l2的方程即为，
∴l1和l2的距离d=，
∴.
∵a>0,
∴a=3.
（2）设点P(x0,y0)，
若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x−y+c=0上，且,
即c=或c=.
∴2x0−y0+或2x0−y0+.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
∴x0−2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0−y0+和x0−2y0+4=0，解得x0=−3,y0=,应舍去.
由2x0−y0+与x0−2y0+4=0联立，解得x0=,y0=.
所以P()即为同时满足三个条件的点.
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.
考点35 直线的位置关系
（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
二、两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
三、距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
四、对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
考向一 两直线平行与垂直的判断及应用
由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.
典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】直线经过，两点，
直线的斜率：，
直线的倾斜角为，直线的斜率，
，.
故选A.
典例2 若直线与直线互相平行，则的值为
A．4 B．
C．5 D．
【答案】C
【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，
因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，
于是有且，解得，
故选C．
【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.
1．“”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线，．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求过直线与的交点，且与原点的距离为1的直线的方程.
考向二 两直线的相交问题
1．两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.
2．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.
典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.
【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,
由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
3．当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？
考向三 距离问题
1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例4 （1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为_________；
（2）若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．
【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°
【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．
由题意知，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝．
∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．
方法二：当AB∥l时，有kl＝kAB＝，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．
当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1．
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．
（2）显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离，
设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=，
过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|=d=，
在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，
又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，
故直线m的倾斜角θ =15°或75°．
4．若直线与平行，则两直线间的距离为
A． B．
C． D．
5．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是
A． B．
C． D．
考向四 对称问题
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:
（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=−1，
∴·3=-1， ①
又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，
∴3·-+3=0. ②
联立①②，解得.
（1）把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，
即7x+y+22=0.
6．与直线关于轴对称的直线方程为
A． B．
C． D．
7．已知点为直线上任意一点，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
考向五 直线过定点问题
求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】详见解析.
【解析】证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
证法二：以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，所以，解得x＝2，y＝－3.
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．
8．已知点，点，直线l：（其中）．
（1）求直线l所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．
1．过两直线3x＋y−1=0与x＋2y−7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是
A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0
C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0
2．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是
A．平行 B．重合
C．平行或重合 D．相交或重合
3．在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是
A． B．
C． D．或
4．直线与直线垂直，垂足为，则
A． B．
C． D．
5．若点到直线的距离为，则
A． B．
C． D．
6．若直线l1:y=k(x−4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点
A．(0,4) B．(0,2)
C．(−2,4) D．(4,−2)
7．点P（-3，4）关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是
A． B．
C． D．
8．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为
A． B．
C． D．
9．设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为
A． B．
C． D．
10．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是
A．， B．，
C．， D．，
11．已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,则(14)m+(12)n的最小值为
A．-3 B．3
C．16 D．4
12．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为
A． B．
C． D．
13．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为
A． B．
C． D．
14．若直线2x+ay-7=0与直线(a-3)x+y+4=0互相垂直，则实数a= .
15．若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点________．
16．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则x2 ＋ y2的最小值等于__________.
17．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则__________．
18．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_________.
19．一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．
20．已知l1,l2是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程是 .
21．已知直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0相交于点P
（1）求交点P的坐标；
（2）设直线l3:3x-4y+5=0，分别求过点P且与直线l3平行和垂直的直线方程.
22．已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离.
23．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程.
24．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.
（1）求点关于直线对称点的坐标；
（2）求反射光线所在直线的一般式方程．
25．已知直线，点.求：
（1）直线关于直线的对称直线的方程；
（2）直线关于点对称的直线的方程.
26．已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.
（1）若l1⊥l2,且l1过点(-3,-1),求实数a,b的值.
（2）是否存在实数a,b,使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.
27．已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2的距离是.
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?
若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
变式拓展
1．【答案】A
【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线垂直；
当时，两直线也垂直，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
2．【解析】（1）因为，所以，故.
（2）当时，即时，直线与的交点的坐标为，
设过交点的直线为（当直线的斜率不存在时显然不满足距离为1的条件），根据点到直线的距离公式有：，解得.
所以直线的方程为.
3．【解析】由得，
即两直线的交点坐标为，
，解得：.
4．【答案】C
【解析】由可得，解得，
所以，，
则两条平行直线与间的距离．
故选C．
5．【答案】B
【解析】因为点在直线上运动，所以设点的坐标为，由两点间的距离公式可知：，显然时，有最小值，最小值为，此时点的坐标是，故选B．
6．【答案】A
【解析】设对称直线上的点为，
则其关于轴的对称点在直线上，
所以，即，
故选A．
7．【答案】A
【解析】当为坐标原点时，，此时，为最小值.
设关于对称的点为，
则：，解得，此时，
又，得直线平行于，
可知必构成三角形，
，
即，
综上所述：.
故选A.
8．【解析】（1）直线方程可化为：，
由解得即直线l过定点.
（2）由平行线的斜率为得其倾斜角为，
又水平线段，
所以两平行线间的距离为，
而直线被截线段长为，
所以被截线段与平行线所成的夹角为，即直线与两平行线所成的夹角为，
所以直线的倾斜角为或．
由（1），知直线l过定点，
则所求直线为或．
【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间的距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.
（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.
（2）根据平行线间的距离公式，求得平行线间的距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】由，得，即交点为(−1,4)．
∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为.
∴由点斜式方程得所求直线方程是y−4=(x＋1)，即x−3y＋13=0.
2．【答案】C
【解析】由题意知：，，，
当时，与没有公共点，，
当时，与有公共点，∴与重合，
∴与平行或重合.
故选C.
3．【答案】D
【解析】设，则，，
∵，，则，
则：，解得：或，
点的坐标为或.
故选D.
4．【答案】B
【解析】∵直线与直线垂直，∴，∴，
∴直线即为．
将点的坐标代入上式可得，解得．
将点的坐标代入方程得，解得．
∴．
故选B．
【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点．根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值．
5．【答案】B
【解析】由题意得.
故选B.
6．【答案】B
【解析】因为直线l1:y=k(x−4)过定点(4,0)，所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l2过定点(x,y)，则，解得x=0,y=2.故直线l2过定点(0,2).
7．【答案】B
【解析】设点P（-3，4）关于直线l：x+y-2=0的对称点Q的坐标为(x,y)，
可得PQ中点的坐标为（），
利用对称性可得：，且，
解得：，y=5，
点Q的坐标为（-2，5）.
故选B．
8．【答案】A
【解析】联立，解得，．
∵三条直线，，相交于同一点，
∴．
则点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离．
故选A．
9．【答案】A
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
直线与直线的交点为，为的中点，
若，则即解得．
故选A．
10．【答案】A
【解析】是方程的两个实根，，，两条直线之间的距离，，，，，
两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.
故选A.
【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.
11．【答案】C
【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等,所以m2+(n-4)2=(m+8)2+n2,即2m+n=-6,
又(14)m>0,(12)n>0,所以(14)m+(12)n≥2(14)m·(12)n=2(12)2m+n=2(12)-6=16,
当且仅当2m+n=-6(14)m=(12)n,即2m=n=-3时取等号.
12．【答案】D
【解析】因为三条直线，，不能构成三角形，所以直线与或平行，或者直线过与的交点，直线与，分别平行时，，或，直线过与的交点时，，所以实数的取值集合为.
故选D.
13．【答案】C
【解析】直线：，即，
令，求得，，可得该直线恒过点.
直线：上有一动点，点的坐标为，
故、都在直线：的上方．
点关于直线：的对称点为，
则直线的方程为，即.
联立，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为．
故选C．
14．【答案】2
【解析】由题得，2(a-3)+a×1=0,解得a=2.
故答案为2.
15．【答案】
【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，
∴点在直线上，即直线恒过定点，
故答案为.
16．【答案】
【解析】因为实数x，y满足5x＋12y＝60，所以x2 ＋ y2表示原点到直线5x＋12y＝60上点的距离．
所以x2 ＋ y2的最小值表示原点到直线5x＋12y＝60的距离．
容易计算，即所求x2 ＋ y2的最小值为6013．
17．【答案】
【解析】设线段的中点为，则点，则对折后,对折直线l的方程为;
设直线的方程为，∵点在直线上，∴，则直线的方程为;
设直线与直线的交点为则解方程组得.即，
则，∴.
18．【答案】
【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为
∴当时，取得最小值．
故答案为．
【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值．
19．【答案】−2
【解析】如图所示：
作点关于轴的对称点，则点在直线上，由对称性可知，
则光线所在直线的斜率，故答案为.
【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键.
20．【答案】2x-y-3=0
【解析】由平面几何知识,得当l1⊥AB时,l1,l2之间的距离最大.
∵A(2,1),B(0,2),∴kAB=-12,kl1=2.
则直线l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
21．【解析】（1）由 x-2y+4=0x+y-2=0 ，得x=0y=2 ，
∴P(0,2).
（2）与l3平行直线方程y-2=34x，即3x-4y+8=0.
与l3垂直的直线方程y-2=-43x，即4x+3y-6=0.
22．【解析】（1）由l1⊥l2知a+3(a-2)=0，解得a=32.
（2）当时，有a(a-2)-3=03a-(a-2)≠0,解得a=3，
l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，
所求距离为d=|9-1|32+32=423.
【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：
（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；
（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.
23．【解析】（1）边上的高为，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
因为直线的方程为，
所以 解得，
所以.
（2）设，由为中点，得的坐标为，
则，解得，
所以，
又因为，所以直线的方程为，
即直线的方程为.
24．【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，
解得，
即点关于直线l的对称点为．
（2）由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为即.
25．【解析】（1）在直线上取一点，
则关于直线的对称点必在上.
设对称点为，则
解得.
设与的交点为，则由得.
又∵经过点，
∴由两点式得直线的方程为.
（2）设为上任意一点，则关于点的对称点为.
∵在直线上，
∴，即.
故直线的方程为.
26．【解析】（1）由已知可得l2的斜率存在,为k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,
∴直线l1的斜率必不存在,即b=0.
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即a=43(矛盾).
∴此种情况不存在,
∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.
∵k2=1-a,k1=ab,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即ab(1-a)=-1. ①
又l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0. ②
由①②联立,解得a=2,b=2.
（2）不存在,理由如下:
∵l2的斜率存在,l1∥l2,
∴直线l1的斜率存在.
又坐标原点到这两条直线的距离相等,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即4b=-b,该方程无实数解.
∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
27．【解析】（1）l2的方程即为，
∴l1和l2的距离d=，
∴.
∵a>0,
∴a=3.
（2）设点P(x0,y0)，
若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x−y+c=0上，且,
即c=或c=.
∴2x0−y0+或2x0−y0+.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
∴x0−2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.
联立方程2x0−y0+和x0−2y0+4=0，解得x0=−3,y0=,应舍去.
由2x0−y0+与x0−2y0+4=0联立，解得x0=,y0=.
所以P()即为同时满足三个条件的点.
【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.
（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.
（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.
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