高中数学高考考点31 正弦定理、余弦定理（解析版）

这是一份高中数学高考考点31 正弦定理、余弦定理（解析版），共19页。
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等
【基础知识回顾】
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1、 在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：A
【解析】
：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝eq \r(13)，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
2、 已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，则c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5)
C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正确
【答案】：C
【解析】
：∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(15),\r(5))·sin 30°＝eq \f(\r(3),2).∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5).
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝eq \r(5).
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．2
【答案】：B
【解析】
：因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.所以BC＝eq \r(3).
4、 在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
【答案】：A
【解析】
：∵cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).故选A.
5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】：B
【解析】
：由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
6、在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】：B
【解析】
：∵cs2eq \f(B,2)＝eq \f(1＋cs B,2)，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，∴(1＋cs B)·c＝a＋c，∴a＝cs B·c＝eq \f(a2＋c2－b2,2a)，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
【答案】：eq \f(2\r(3),3)
【解析】
：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝eq \f(1,2).
因为b2＋c2－a2＝8，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，
所以bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
8、 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(csA－3csC,csB)＝eq \f(3c－a,b)，则eq \f(sinC,sinA)的值为__________．
【答案】：3
【解析】
：由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得eq \f(csA－3csC,csB)＝eq \f(3c－a,b)＝eq \f(3sinC－sinA,sinB)，
即(csA－3csC)sinB＝(3sinC－sinA)·csB，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此eq \f(sinC,sinA)＝3．
考向一 运用正余弦定理解三角形
例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在中，若 ，则=（ ）
A．1B．2 C．3D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由余弦定理可以求出，有可判断，进而可以求出.
【解析】
由余弦定理得：，
所以，因为，所以，所以，
故选：D．
变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在中，如果，那么________．
【答案】
【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则csC，∵C∈(0，π)，∴tanC．故答案为．
变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】
∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，∴，
∵为的内角，∴，∴，
∴，
故答案为：4．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由，得
由正弦定理得.
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
【答案】：ACD
【解析】
：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccsA，故csA＝－eq \f(1,2)，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴eq \f(3,4)＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝eq \f(1,2)，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．
变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】 (1)B (2)C
【解析】
(1)法一：因为bcs C＋ccs B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcs C＋ccs B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(2a2,2a)＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
所以△ABC是等边三角形．
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcsC＋ccsB＝2acsA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \r(3)，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcsC＋ccsB＝2acsA，
得sinBcsC＋sinCcsB＝2sinAcsA，
即sinA＝2sinAcsA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以csA＝eq \f(1,2)，所以A＝eq \f(π,3)．
(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcsC＋ccsB＝2acsA，
得beq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝2aeq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)．
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)．
(2) 由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝cbcsA＝eq \r(3)，得bc＝2eq \r(3)，
所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×sin60°＝
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq \r(3)，cs2A－cs2B＝eq \r(3)sin Acs A－eq \r(3)sin Bcs B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝eq \f(4,5)，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) 由题意得 eq \f(1＋cs2A,2)－eq \f(1＋cs2B,2)＝eq \f(\r(3),2)sin 2A－eq \f(\r(3),2)sin 2B，
即eq \f(\r(3),2)sin 2A－eq \f(1,2)cs 2A＝eq \f(\r(3),2)sin 2B－eq \f(1,2)cs 2B，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))．
由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－eq \f(π,6)＋2B－eq \f(π,6)＝π，即A＋B＝eq \f(2π,3)，所以C＝eq \f(π,3)．
(2) 由c＝eq \r(3)，sin A＝eq \f(4,5)，eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，得a＝eq \f(8,5)．
由a