高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（原卷版）

这是一份高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（原卷版），共8页。

【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
3. 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．
1、已知下列各式：①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))；③eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))；④eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、设a，b是非零向量，则a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
3、已知eq \(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq \(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
6、在△ABC中，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))，则∠BAC＝_____．
考向一 平面向量的有关概念
例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
变式2、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
（1）与相等的向量有 ；
（2）与相等的向量有 ；
（3）与共线的向量有 ．
答案：（1），，；（2）；
（3）．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16eq \(OA,\s\up7(―→))－12eq \(OB,\s\up7(―→))－3eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则( )
A.eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \(OA,\s\up7(―→))＝－12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \(OA,\s\up7(―→))＝－12eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))
变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))等于( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b
C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝( )
－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B .eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D .eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是
B．
C．D．
变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示eq \(OM,\s\up6(→)).
变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅
C.{－1} D.{0，－1}
变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是
A．B．
C． D．
变式3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、在△ABC中，点G满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
2、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
3、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
4、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形
5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6、【江苏卷】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
7、在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \f(1,|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,|\(BC,\s\up6(→))|)·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),|\(BD,\s\up6(→))|)·eq \(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的面积为________.
8、已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？