高中数学高考考点32 两直线的位置关系、直线的交点坐标与距离公式-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
两直线位置关系及交点坐标、距离公式是高考中常考知识点，在近几年的高考中主要是以选择或者填空题的形式出现，题目难度以中低档题为主，主要是考查学生的计算能力和思维转化能力。
【命题预测】
预计2021年的高考两直线的位置关系及交点坐标、距离公式还是以选择或者填空为主，其中距离的考查出题可能性比较大，主要是考查计算能力。
【复习建议】
1.掌握两直线的位置关系，会判断两直线的平行和垂直；
2.会用联立方程求解两直线的交点坐标；
3.掌握平面内两点间的距离公式、点到直线距离公式及平行线间距离公式。
考向一 两直线的位置关系、两直线的交点
1.直线的平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
2.直线的垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
3.直线的交点坐标
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐标就是方程组
A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.
(1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;
(2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立.
1. 【2020全国高二课时练习】已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20B．－4C．0D．24
【答案】B
【解析】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，
将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以
，
故选B．
2. 【2020全国高二课时练习】直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 ( )
A．12B．10C．-8D．-6
【答案】B
【解析】∵直线与的交点为
∴将点代入得，即
将点代入得，即
∴
故选B
考向二 距离公式
1.点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= |Ax0+By0+C|A2+B2
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= |C1-C2|A2+B2
1. 【2020福建厦门一中高二开学考试】已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【解析】直线AB的方程为：，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，，联立解得，．
，光线所经过的路程为．
故选：D．
2.【2020上海市七宝中学月考】若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，
直线和，因此点所在直线为，
则的最小值为．
故选：C．
3. 【2020苏州大学附属中学开学考试】若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题：直线与平行，
则，即，解得或，
当时，直线与重合；
当时，直线与平行，
两直线之间的距离为.
故选：B
题组一（真题在线）
1. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点到直线距离的最大值为
A．1B． C．D．2
2. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为
A．B．C．D．
3. 【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4B． 5
C． 6D． 7
题组二
1. 【2020湖南开福·周南中学二模（理）】已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2. 【2019合肥市第六中学高二期中】已知点在直线上，若，则直线的斜率为（ ）
A．2B．﹣2C．D．
3.【2019湖北襄阳·高二期中】若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．1B．C．2D．
4. 【2020湖北武汉高三月考】已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
5. 【2020江苏江阴期中】若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
6. 【2019上海市建平中学高三月考】设三条不同的直线： ，若它们交于同一点，则的值为_____________.
7. 【2020河北石家庄新世纪外国语学校高一期中】己知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________
8. 【2020全国高二课时练习】已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.
9. 【2020全国高二课时练习】已知，，.
（1）求点的坐标，满足，；
（2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角.
10. 【2020福建厦门一中高二考试】已知直线经过点．
(1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
(2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
题组一
1.B
【解析】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B．
2.B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B．
3. A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A．
题组二
1.A
【解析】若，则，解得或，
即或，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
2.A【解析】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，
∴2×2+3a﹣1＝0，
解得a＝﹣1，
∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，
∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．
故选：A．
3.B
【解析】直线与直线平行，
则，解得，
当时，直线与直线重合，故舍去．
当时，直线与直线平行，
故两平行线间的距离．
故选．
4. B
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
5.AB
【解析】由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，
所以或.
故选：AB
6.
【解析】设，三条直线相交于点，
则有（※）
消去得，
即，
把代入得，
当时，解得，不合题意，舍去；
所以，解得，
故答案为：.
7.
【解析】由解得
又∵直线和直线的交点在第一象限，
∴解得．
故答案为.
8. 1
【解析】设点，，直线，直线，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以，
显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，
即.
故答案为：1.
9. 见解析
【解析】（1）设，由已知得：，
又，可得：，
即： ①
由已知得：，又，可得：，
即： ②
联立①②求解得：，，
即；
（2）设，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴轴，
故直线的倾斜角为.
10. 【答案】见解析
【解析】(1)①直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为．
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
由原点到直线的距离为2得，解得，
故直线的方程为，即，
综上，所求直线方程为或．
(2)设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），
、的坐标分别设为、，
因为被点平分，所以，，
于是，
由于在上，在上，即，解得，，
即的坐标是，故直线的方程是，即．