高中数学高考考点31 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

考点31直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【命题解读】

  直线的倾斜角与斜率以及直线的方程作为高考的一个知识点，主要是以基础题为主，在选择题中多有涉及，对于直线的方程更多的是与圆锥曲线相结合出题，难度以中高档题为主。

【命题预测】

预计2021年的高考直线的倾斜角与斜率以及直线的方程出题还是以基础题为主，多出选择或者填空，与圆锥曲线的结合出现在解答题，单独出题可能性小。

【复习建议】 

1.理解直线的倾斜角与斜率的概念，会计算斜率并运用斜率判定直线的位置关系；

2.掌握直线方程的各种形式。

考向一　直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°. 

(2)范围:倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°. 

2.直线的斜率

(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= tan α. 

(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.若x1=x2,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.

1. 【2020全国单元测试】直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线的斜率为,故倾斜角的正切值,

又,故.

故选：A

2. 若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于(　　)

A．－1　　　 B．－3　　

C．0　　　 D．2

【答案】B

【解析】由k＝＝tan ＝－1, 得－4－2y＝2，所以y＝－3.

故选：B

考向二  直线的方程

1. 【2020全国课时练习】以,为端点的线段的垂直平分线方程是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，所以点中点坐标为，

 又由斜率公式可得，所以垂直平分线的斜率为，

 所以垂直平分线的方程为，即.

故选D．

2. 【2020全国课时练习】过点，斜率是的直线方程是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵直线过点且斜率为，
由直线方程的点斜式得：，
整理得：.
故选：C.

3. 【2020全国课时练习】已知的三个顶点都在第一象限，且，，，求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边和边所在直线的方程．

【答案】见解析

【解析】（1）因为，所以直线平行于x轴，所以直线的方程为．

（2）由题意知，直线的倾斜角为，又，所以．

又直线过点，所以直线的方程为，即．

又直线的倾斜角为，所以．

又直线过点，所以直线的方程为，即．

题组一（真题在线）

1. 【2019山东淄博模拟】直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A．　　　 B．　　　

C．　　　 D．

2.【2020全国高二课时练习】直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

3. 【2020全国课时练习】若直线的向上方向与轴的正方向成角，则的倾斜角为（    ）

A． B． C．或 D．或

4. 【2020全国课时练习】    已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则直线AB的方程为 (　　)

A．y＝－x＋5 B．y＝x－5

C．y＝x＋5 D．y＝－x－5

5. 【2020全国课时练习】直线在两坐标轴上的截距之和为（    ）

A． B． C． D．

6. 【2020全国课时练习】直线的斜率和在y轴上的截距分别是（    ）

A．，3 B．3， C．， D．，

7. 【2020全国课时练习】若直线不经过第一象限，则t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8. 【2020江苏建邺高一期中】下列说法中正确的是（    ）

A．若是直线的倾斜角，则

B．若是直线的斜率，则

C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角

D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

9. 【2020全国课时练习】已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是 B．若直线则

C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是

10. 【2020全国课时练习】已知直线L过点且倾斜角为，则l的点斜式方程为_______．

11. 【2020全国课时练习】已知点，点B在直线上运动则当线段最短时，直线的一般式方程为__________．

12. 【2020全国高二课时练习】直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.

题组一

1.D

【解析】将直线方程化为y＝－x－，故其斜率k＝－，倾斜角为.

故选：D．

2.D

【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为，则，解得或.

故选：D.

3. C

【解析】直线的位置可能有两种情形，如图所示，故直线的倾斜角为或.

故选：C.

4. C

【解析】由直线2x﹣y=0和x+ay=0垂直可得a=2，

则P（0，5），

设，

于是有，解得．

于是A（4，8），B（﹣4，2），

∴AB所在的直线方程为，即y＝x＋5．

故选C

5. D

【解析】将方程化为截距式得，

从而可知直线在x轴，y轴上的截距分别为，

故截距之和为．

故选：D

6.  B

【解析】直线方程可化为，因此该直线的斜率为3，在y轴上的截距为．

故选：B

7. D

【解析】直线方程可化为，因为直线不经过第一象限，所以，解得．

故选：D

8. BD

【解析】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；

对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；

对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；

对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；

故选：BD.

9. CD

【解析】对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；

对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；

对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；

对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．

综上所述，正确的选项为CD．

故选：CD．

10. .

【解析】由题意知直线L的斜率，所以l的点斜式方程为．

故答案为：.

11.

【解析】当线段最短时，，所以，所以直线的方程为，

化为一般式方程为．

故答案为：.

12.

【解析】设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.

联立

即解得即.

所以直线l的方程为，即.

故答案为：.