初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数教案

这是一份初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数教案，共24页。教案主要包含了 知识梳理，课堂精讲，课后巩固练习等内容，欢迎下载使用。
反比例函数
一、 知识梳理：
考点 1：反比例函数的定义：
形如 （K 为常数，K≠0）的函数叫做反比例函数。自变量 X 的取值范围是 。
考点 2：反比例函数的三种不同形式的解析式：
（1） （2） （3）
k
（其中，K 均为常数K≠0）。 考点 3： 图像的性质：
反比例函数 y (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线，
x
当 k  0 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， 当 k  0 时，图象在二、四象限，在每一象限内 ，y 随 x 的增大而增大。
反比例函数 y  k (k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
x
课程目标
理解和掌握反比例函数的图像和性质，能运用反比例函数的性质解决问题。
理解掌握并灵活运用反比例函数解决实际综合问题。
课程重点
能灵活运用反比例函数及一次函数图象和性质解决一些较综合的问题。
课程难点
能灵活运用反比例函数及一次函数图象和性质解决一些较综合的问题。
双曲线的两个分支都不会与 相交，因为在 y= k
x
考点 4：用待定系数法求反比例函数的表达式：
k
中，x ．
由于在反比例函数 Y=
中，只有一个待定系数，因此只需要 组对应值，即可求出K 的
x
值，从而确定其表达式。
考点 5：比例系数 K 的几何意义：
kk
反比例函数 Y=
(K≠0)中 K 的几何意义：过双曲线 Y=
x
(K≠0)上任意一点作 X 轴、Y 轴的垂线，
x
与两坐标轴围成的矩形面积为 。6、反比例函数的图象和意义：（与一次函数比较）
k
反比例函数 Y=



(K≠0)的图象是 ， 其图象和性质如下表：
x
二、课堂精讲：
（一）反比例函数定义的考查
例 1． 下列等式中，哪些是反比例函数
2
x
（1） y （2） y  
3x
1
（3）xy＝21 （4） y 
5
x  2
（5） y   3
2x
（6） y 
 3 （7）y＝x－4
x
k
分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 y （k 为常数，k≠0）的形式，这
x
1  3x
里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含 x，（6）改写后是 y ，分子不是常数，
x
只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式
例 2．当 m 取什么值时，函数 y  (m  2)x3m2 是反比例函数？
分析：反比例函数 y  k （k≠0）的另一种表达式是 y  kx 1 （k≠0），后一种写法中 x 的次数是－
x
1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即 m－2≠0 且 3－m2＝－1， 特别注意不要遗漏k≠0 这一条件，也要防止出现 3－m2＝1 的错误。解得 m＝－2
【随堂演练一】
【A 类】
1．反比例函数 y   2
x
，当x＝－2 时，y＝ ；当 x＜－2 时；y 的取值范围是 ； 当 x
＞－2 时；y 的取值范围是
2．、若函数 y  (m  1)xm2 1 是反比例函数，则 m= ，它的图像在第 象限；

（二）反比例函数解析式的求法
例 3．已知函数 y＝y1＋y2，y1 与 x 成正比例，y2 与x 成反比例，且当 x＝1 时，y＝4；当 x＝2 时， y＝5
求 y 与 x 的函数关系式
当 x＝－2 时，求函数 y 的值
分析：此题函数 y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出 y1、y2 与 x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意 y1 与x 和 y2 与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为 k，要用不同的字母表示。
略解：设 y ＝k x（k ≠0）， y
 k2 （k ≠0），则 y  k x  k2 ，代入数值求得 k ＝2，k ＝2，
111
2
2x21x12
则 y  2x 
，当 x＝－2 时，y＝－5
x
【随堂演练二】
【A 类】
已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=2 时 y=9（1）写出 y 与 x 之间的函数解析式和自变量的取值范围。

y  (a  2)xx  0
a2 6
已知反比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式?







已知函数y＝y1＋y2，y1 与 x＋1 成正比例，y2 与x 成反比例，且当 x＝1 时，y＝0；当 x＝4 时，y
＝9，求当x＝－1 时 y 的值 。


（三）反比例函数图像和性质的考查
例 4．若点 A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数 y  k （k＜0）图象上，则 a、b、
x
c 的大小关系怎样？
分析：由 k＜0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，因为 A、B 在第二象限，且－1＞－2，故 b＞a＞0；又 C 在第四象限，则 c＜0，所以 b＞a＞0＞c
说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数 y 随 x 的增减性就不能连续的看， 一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说 k＜0 时 y 随 x 的增大而增大，就会误认为 3 最大，则 c 最大，出现错误。
【随堂演练三】
【A 类】
已知反比例函数的图象经过点（－3，4），且当 x1 ＝－1， x2 ＝－2， x3 ＝－3 时，对应的函数值为 y1 、 y2 、 y3 ，试比较 y1 、 y2 、 y3 的大小。
2
2.函数 y  3x 图像上的点 A(x1 ,2), B(x2 ,1),C(x3 ,3) ，则 x1 , x2 , x3 之间的大小关系是 ；（用大于号连接）




（四）反比例函数与一次函数的考查
例 5． 如图， 一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y  m 的图象交
x
于 A（－2，1）、B（1，n）两点
求反比例函数和一次函数的解析式
根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围。分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函
2
数的解析式 y  
x
，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，
最后再由 A、B 两点坐标求出一次函数解析式 y＝－x－1，第（2）问根据图象可得 x 的取值范围 x＜－2 或 0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。

（五）反比例函数图像的考查
例 6．如图，过反比例函数 y  1 （x＞0）的图象上任意两点 A、
x
B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、OB，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
（A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2 （D） 大 小
关系不能确定
分析：从反比例函数 y  k （k≠0）的图象上任一点P（x，y）向 x 轴、y 轴作垂线段，与 x 轴、y
x
轴所围成的矩形面积 S  xy
 k ，由此可得 S ＝S ＝ 1
，故选 B
12
2
【随堂演练四】
【A 类】
在平面直角坐标系内，过反比例函数 y  k （k＜0）的图象上的一点分别作 x 轴、y 轴的垂线段，
x
与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6，则函数解析式为

2．P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为 3，则反比例函数的表达式是
．

例 7.如图是三个反比例函数 y  k1 , y  k2 , y  k3 ，在 x 轴上方的图象，由此观察得到k , k , k
xxx
123
的大小关系为（ ）
A． k1 > k2 > k3 B． k2 > k3 > k1 C． k3 > k2 > k1 D． k3 > k1 > k2
【随堂演练五】
【B 类】
1．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线 y  
k 2  1
x
上，则下列关系式正确的是（ ）
（A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2
（C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2

x
在同一坐标系中，函数 y  k
和 y  kx  3 的图像大致是（ ）

A B C D
a
函数 y＝－ax＋a 与 y （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
x

例 8． 已知：一次函数 y  kx  b(k  0) 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函
m
数 y 
(m  0) 的图象在第一象限的交于 C 点，CD 垂足于x 轴，垂足为D，若 OA＝OB＝OD＝1
x
求点A、B、D的坐标
求一次函数的关系式及C点坐标
求反比例函数的解析式
求两个函数图象的另一个交点坐标。
【随堂演练六】
【A 类】
1.如图,一次函数的图象与 x 轴 y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例的图象交于 C, D 两点.如果 A 点的坐标为(2,0),点 C,D 分别在第一,第三象限,且 OA=OB=AC=BD. 试求一次函数和反比例函数的解析式.
y
C
A
O
x
DB




例 9. 如图,直线 y= 1 x+2 分别交 x,y 轴于点 A,C,P 是该直线上第一象限内的一点,PB ⊥x 轴,B 为
2
垂足, SABP =9.求过 P 点的坐反比例函数的解析式.
y
P
C
AO
B
x







例 10、码头工人以每天 30 吨的速度往一艘船上装载货物，把轮船装完毕恰好用了 8 天时间。
轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过 5 日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？




例 11.某商场出售一批进价为２元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x（元）与日销售量 y（个）之间有如下关系：
猜测并确定y 与 x 之间的函数关系式；
设经营此贺卡的销售利润为Ｗ元，求出Ｗ与x 之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过 10 元／个，请你求出当日销售单价 x 定为多少时，才能获得最大日销售利润？



日销售单价 x（元）
3
4
5
6
日销售量 y(个)
20
15
12
10
例12.如图,正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点 B 在函数 y  k (k > 0, x> 0) 的图象上,
x
点 P(m, n) 是函数 y  k (k > 0, x> 0) 的图象上任意一点,边点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别
x
为 E 、 F ,并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S.(提示:考虑点 P 在点 B 的左侧或右侧两种情况)
⑴求 B 点的坐标和k 的值；
⑵当 S  9 时，求 P 点的坐标；
2
⑶写出 S 关于m 的函数关系式.











三．小结：
四、课后巩固练习
【A 类】
下列函数中，图象经过点(1，1) 的反比例函数解析式是（ ）
1122
A、 y B、 y C、 y D、 y 
xxxx
k  2
已知反比例函数 y＝
的图象位于第一、第三象限，则 k 的取值范围是（ ）．
x
A 、 k＞2 B 、 k≥2 C 、 k≤2 D 、 k＜2
一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙两人合作 1 小时能完成多少工作 （ ）
1
A、
a
B、 1
1
bab
C、
1
a  b
D、
ab a  b
在函数 y=
11
的图象上，有三个点（1, y1）, (
x2
, y2), (-3, y3), 则 y1,y2,y3 的大小
关 系 为 （ ）
A 、 y1