2023呼和浩特二中高一上学期第一次月考数学试题含解析

呼市二中致远级部2022-2023学年线上学科检测试题

数学

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算，，再计算交集得到答案.

【详解】，，

故.

故选：B

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】取特殊值结合单调性排除A，根据偶函数定义和指数函数单调性得到B正确，根据定义域排除C，取特殊值结合奇偶性排除D，得到答案.

【详解】对选项A：时，，时，，不满足增函数的性质，排除；

对选项B：，，为偶函数，时，单调递增，正确；

对选项C：定义域为，是非奇非偶函数，排除；

对选项D：时，，时，，不满足偶函数的性质，排除.

故选：B

3. 函数的零点所在的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算，，根据零点存在定理得到答案.

【详解】，则，，故函数在上有零点.

故选：C

4. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可.

【详解】解：因为定义域为，且，

所以为奇函数，所以函数图象关于原点对称，故排除A、B，

又，，，当时，故排除D；

故选：C

5. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.

【详解】解：因为，即，

又，

又，所以，

所以.

故选：C

6. 函数的单调递减区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再求出内、外函数的单调区间，最后根据复合函数的单调性判断即可.

【详解】解：对于函数，令，即，

解得，所以函数的定义域为，

又在上单调递增，在上单调递减，

又在定义域上单调递减，

所以的单调递减区间为.

故选：B

7. 定义域为的函数满足条件：①；②若，，恒有；③，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数为奇函数，确定函数的单调区间，画出简图，考虑，，三种情况，计算得到答案.

【详解】，即，函数为奇函数；

，，恒有，故函数在上单调递增，函数为奇函数，故函数在上单调递增.

画出函数简图，如图所示：

当时，，即，；

当时，，成立；

当时，，即，.

综上所述：.

故选：A

8. 若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据值域为得到且或 且，解得答案.

【详解】函数的值域是，

则且，解得；

或且，解得

综上所述：.

故选：B

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列叙述中错误的是（    ）

A. 命题“，”的否定是“，”，.

B. 函数有且仅有两个零点.

C. 函数的最小值是4.

D. 函数在上的值域为.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据全称命题的否定得到A错误，画出图像得到B正确，均值不等式等号成立的条件不成立C错误，得到D错误，得到答案.

【详解】对选项A：命题“，”的否定是“，”，错误；

对选项B：，即，画出函数图像，根据图像知函数有和两个零点，正确；

对选项C：，当，即时等号成立，无解，错误；

对选项D：，，故，错误；

故选：ACD

10. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据对数的运算法则、换底公式及对数函数的性质得到，根据幂函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据指数幂的运算法则及对数的运算性质判断C，根据对数函数的性质判断D.

【详解】解：因为，即，

所以，所以，所以，

所以，

因为在上单调递增，所以，故A正确；

因为在上单调递减，所以，故B正确；

对于C：，故C正确；

因为，所以，无法确定与的关系，所以无法确定的正负，故D错误；

故选：ABC

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是偶函数

B. 函数的定义域是，值域是

C. 函数与的图象关于对称

D. 若，则的解析式为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用特例说明A，根据偶次方根的被开方数非负求出函数的定义域，再根据指数函数的性质求出函数的值域，即可判断B，根据反函数的性质判断C，利用换元法求出的解析式，即可判断D.

【详解】解：对于A：若，不一定得到是偶函数，

如，满足，但是是非奇非偶函数，故A错误；

对于B：因为，所以，即，解得，即函数的定义域为，

又，所以，所以，即函数的值域是，故B正确；

对于C：因为，则与互反函数，则函数图象关于对称，故C正确；

对于D：因为，令，则，，，

所以，，

所以，故D正确；

故选：BCD

12. 已知定义在上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（    ）

A. 是奇函数 B.

C.  D.

【答案】ABCD

【解析】

【分析】关于原点对称，为奇函数，A正确；根据奇函数性质得到，B正确；变换得到，C正确；计算，D正确，得到答案.

【详解】定义在上的函数的图像关于点对称，故关于原点对称，为奇函数，A正确；

为奇函数，故，B正确；

用代换得到，即，C正确；

取得到，即，D正确；

故选：ABCD

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数（，且）过定点___________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.

【详解】令，可得，.

因此，函数的图象过定点.

故答案为：.

14. 已知幂函数的图象过点，则的值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】设，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得.

【详解】解：设，则，所以，

所以，所以.

故答案为：

15. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案.

【详解】函数是上的增函数，则，

解得.

故答案为：

16. 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.01%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数，k为常数，（为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为___________.（参考数据：）

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】代入数据计算得到，根据题意得到不等式，解得答案.

【详解】当时，，解得；

，即，

即

故答案为：；

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 计算下列各式的值

（1）；

（2）；

（3）已知，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接计算即可.

（2）根据对数和指数幂的计算法则直接计算即可.

（3）计算，变换，计算得到答案.

小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】

，故，，故

18. 已知集合，.

（1）当时，求出；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得．

（2）由“”是“”的必要不充分条件得，再分和两种情况讨论，分别求出的范围，最后取并集即可．

【小问1详解】

解：由等价于，解得，

所以，

当时，

所以或，

所以.

【小问2详解】

解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以，

①当为空集时，，，符合题意．

②当不是空集时，由，可得，解得，

综上所述，实数的取值范围为．

19. 已知定义在上的奇函数满足，且时，.

（1）求在上的解析式；

（2）设，其中，试讨论a取何值时的零点分别是2个和4个.

【答案】（1）   

（2）当时，函数有2个零点；当时，函数有4个零点

【解析】

【分析】（1）根据奇函数得到，设时，，，根据函数的奇偶性得到解析式.

（2）题目转化为，画出函数图像，根据图像得到答案.

【小问1详解】

时，，故，，

，解得.

当时，，.

故

小问2详解】

，即，且，，

画出的图像，如图所示：

根据图像知，

当时，函数有2个零点；

当时，函数有4个零点.

20. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）.已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为8万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.

（1）求常数m的值；

（2）写出的解析式；

（3）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）当平方米时，有最小值为万元.

【解析】

【分析】（1）代入数据计算即可.

（2），代入解析式化简即可.

（3）考虑和两种情况，分别计算最小值，比较得到答案.

【小问1详解】

，解得；

【小问2详解】

，

【小问3详解】

当时，，；

当时，

，当，即时等号成立.

综上所述：当平方米时，有最小值为万元.

21. 已知函数为奇函数，.

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）在上单调递减，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质，求出参数的值，再代入检验即可；

（2）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（3）根据函数奇偶性与单调性得到恒成立，求出的最小值，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：的定义域为，又为奇函数，

所以，即，解得，

所以，则，

所以为奇函数，

故.

【小问2详解】

解：在上单调递减，

证明：设任意的且，

所以，

又因为，在上单调递增，所以，即且，

所以，所以，所以在上单调递减；

【小问3详解】

解：因为恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，所以，

所以，即.

22. 已知函数.

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式得到或，得到答案.

（2）设，对称轴，考虑，，三种情况，计算得到答案.

【小问1详解】

，

故或，解得或，即不等式的解集为.

【小问2详解】

设，，故，，

设，对称轴，

当，即时，；

当，即时，；

当，即时，

综上所述：，