北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题

这是一份北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题，共39页。试卷主要包含了统计图如下，已知关于x的一元二次方程，已知，求代数式的值，已知等内容，欢迎下载使用。
北京西城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-06解答题中档题
1．（2022·北京西城·统考二模）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
(2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件；
(3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______．
2．（2022·北京西城·统考二模）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．

(1)求证：；
(2)若，，，求FA的长．
3．（2022·北京西城·统考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
4．（2022·北京西城·统考二模）已知，求代数式的值．
5．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．

(1)求证：四边形EBFD是矩形；
(2)若，，求BF的长．
6．（2022·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为．
(1)求b，m的值；
(2)点是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接OP，结合函数图象，直接写出OP长的取值范围．
7．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
8．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0

小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
9．（2022·北京西城·统考一模）已知：如图，线段AB．

求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
10．（2021·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，直线，函数的图象为F．
（1）若在函数的图象F上，求直线l对应的函数解析式：
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线，图象F和直线围成的区域（不含边界）为图形G．
①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；
②若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．
11．（2021·北京西城·统考二模）如图，在中，，为的角平分线，，连接．

（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接，若，求的长．
12．（2021·北京西城·统考二模）如图，在中，，点P为外一点，点P与点C位于直线异侧，且，过点C作，垂足为D．

（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；
（2）如图2，当时，
①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
②在线段上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值．
13．（2021·北京西城·统考二模）已知，求代数式的值．
14．（2021·北京西城·统考二模）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
15．（2021·北京西城·统考二模）如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．

步骤
作法
推断
第一步
在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接
① ，理由是 ②
第二步
过点C作的垂线，交于点D，交于点E
， ③
第三步
作射线
射线平分
射线为所求作．


16．（2021·北京西城·统考二模）某大学共有9000名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了150名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息：
a．所调查的150名学生最常用的一种阅读方式统计图如图1，
b．选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表1；
图1：最常用阅读方式统计图

表1：使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表
平均每天阅读时长x（单位：分钟）
人数

6

n

17

9

c．使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长在这一组的具体数据如下：60 60 66 68 68 69 70 70 2 72 72 73 75 80 83 84 85
根据以上信息解答下列问题：
（1）图1中___，表1中____；
（2）使用手机阅读的学生中，平均天阅读时长的中位数是_____，平均每天阅读时长在这一组的数据的众数是____；
（3）根据所调查的这150名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数．
17．（2021·北京西城·统考一模）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，．CD的中点为F，的中点为G，连接，．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若，，求的长．
18．（2021·北京西城·统考一模）如图，在中，．D是内一点，．过点B作交的延长线于点E．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与相等的线段并加以证明．
19．（2021·北京西城·统考一模）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标，某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：
a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位：）；
b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）；
c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：），数据分为六组（图2）．

不同标准下实测续航里程统计表（单位：）

标准M下实测续航里程
标准N下实测续航里程
平均数
400.5
316.6
中位数
a
b

根据信息回答以下问题：
（1）补全图2；
（2）不同标准下实测续航里程统计表中，______，在六组数据中，b所在的组是______（只填写中的相应代号即可）；判断a与b的大小关系为a______b（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例．晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于的车型中，符合他要求的车型所对应的点．
20．（2020·北京西城·二模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
2.49
2.64
2.88
3.25
3.80
4.65
6.00
y2/cm
4.59
4.24
3.80
3.25
2.51

0.00

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，)，并画出函数y1，的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当AP=2BD时，AP的长度约为 cm；
②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为 cm．
21．（2020·北京西城·二模）解方程：．
22．（2020·北京西城·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若AC =，BC =2，求证：△ADE是等边三角形．
23．（2020·北京西城·二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．

求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴ = (              ) (填推理的依据) ．
24．（2020·北京西城·二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且，连接OC，BD，OD．

（1）求证：OC垂直平分BD；
（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD=6，，求CD的长．
25．（2020·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象G与直线交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上．
（1）求的值；    
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象与直线l围成的区域（不含边界）为W．
①当n=5时，求的值，并写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围．
26．（2020·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
27．（2020·北京西城·统考一模）运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解A，B两种语音识别输入软件的可读性，小秦同学随机选择了20段话，其中每段话都含有100个字(不计标点符号)，在保持相同条件下，标准普通话来测试两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整．
(1)收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：

(2)整理，描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图

(3)分析数据：两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示

平均数
众数
中位数
方差
A
84.7

84.5
88.91
B
83.7
96

184.01

(4)得出结论：根据以上信息．判断____种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下．_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性) ．
28．（2020·北京西城·统考一模）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：ABCD是矩形；
（2）若AD=，cos∠ABE=，求AC的长．

29．（2020·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4cm．BC=5cm，P是上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，
B，P两点间的距离为cm，C，P两点间的距离为cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
/cm
4.00
3.69

2.13
0
/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，)，(x，)，并画出函数，的图象:

(3)结合函数图象．
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．
②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为_____cm．

参考答案：
1．(1)75
(2)符合
(3)4；

【分析】（1）利用加权平均数的运算公式直接计算就可得到结果；
（2）准确识图，统计相应数据计算百分比和相应加权平均数即可；
（3）准确识图，用列举法求解概率．
(1)
解：该生的综合成绩为：，
答：这名学生的综合成绩为75分；
(2)
解：由图可知：乙剧社两项成绩都低于60分的有1人，所占比例约为6.7%，低于10%，满足第一个条件；
乙剧社声乐成绩统计表如下：
范围
频数

1

3

5

5

1

乙剧社声乐的平均成绩为：
，
大于75分，满足第二个条件．所以乙剧社符合入选参加展演的条件
故答案为：符合；
(3)
解：甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有4人．
80分以上的4人中，甲剧社2人，乙剧社2人，抽取情况如下表：

甲1
甲2
乙1
乙2
甲1

甲1，甲2
甲1，乙1
甲1，乙2
甲2
甲2，甲1

甲2，乙1
甲2，乙2
乙1
乙1，甲1
乙1，甲2

乙1，乙2
乙2
乙2，甲1
乙2，甲2
乙2，乙1


抽出的结果共有12种可能，而来自不同剧社的结果又8种可能，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率为：(分别来自不同剧社) ．
故答案为：4；．
【点睛】本题考查了加权平均数、列举法求概率、数形结合的思想等知识．准确的识图和精确地计算是解决本体的关键．
2．(1)见解析
(2)3

【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；
（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CF=，最后证△EOC∽△EAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，

∵CB，CD分别与相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FAOC；
（2）解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=，
∵FAOC，
∴△EOC∽△EAF，
∴，即，
∴FE=3，
∴FA=FE=3．
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
3．(1)见解析；
(2)当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．

【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【详解】（1）解：∵二次函数为 ，
∴，，．
∴，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵当m=1时，原方程为：，
∴原式可化为，则，
∴或，
∴当m=1时，或满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
4．，
【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算即可．
【详解】解：
=
=，
∵x2+x-5=0，
∴x2+x=5，
∴3x2+3x=15，
当3x2+3x=15时，原式=，
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)BF的长为．

【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩形；
（2）在Rt△BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt△BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中，，BC=5，
∴，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中，，BD=8，
∴，
∴BF=×8=．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
6．(1)b=4，m=-5
(2)2≤OP