2021-2022学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省洛阳市高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】，

故选：A.

2．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】由，可得，即，

当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；

反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，

所以是的即不充分也不必要条件.

故选：D.

3．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程

【详解】因为抛物线的准线方程为，

所以设抛物线方程为，

则，得，

所以抛物线方程为，

故选：D，

4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（       ）

A．250 B．210 C．160 D．90

【答案】B

【分析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果．

【详解】设，等比数列的前项和为

为等比数列，

为等比数列，

解得．

故选：B．

5．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（       ）

A．：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题

B．：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题

C．：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题

D．：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；

【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；

故选：A

6．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；

【详解】解：因为，又，所以，

因为，所以，所以，因为，

所以，即，所以或，即或（舍去），

所以，因为，所以，

所以；

故选：C

7．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率

【详解】设，，则，得，

所以，

因为点在圆上，

所以，即，

所以点的轨迹方程为，

所以，则

所以离心率为，

故选：B

8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值

【详解】如图，由题意得，，，

在中，，

在中，，

所以，

故选：D

9．120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，则CD的长为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，把展开整理求解．

【详解】由已知可得：，，，，

＝41，

∴.

故选：B．

10．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为(       )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.

【详解】设过点的直线方程为或，

①当斜率存在时有，

得()．

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：

，即

又方程()的两个不同的根是两交点、的横坐标，

又为线段的中点，

，即，

，使但使，

因此当时，方程①无实数解．

故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．

②当时，经过点的直线不满足条件.

综上，符合条件的直线不存在．

故选：A．

11．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，点E是棱PC的中点，作，交PB于F.下面结论正确的个数为(       )

①∥平面EDB；②平面EFD；③直线DE与PA所成角为60°；④点B到平面PAC的距离为.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】①由题意连接交于，连接，则是中位线，证出，由线面平行的判定定理知∥平面；

②由底面，得，再由证出平面，即得，再由是正方形证出平面，则有，再由条件证出平面；

③根据边长证明△DEO是等边三角形即可；

④根据等体积法即可求.

【详解】①如图所示，

连接交于点，连接．

底面是正方形，点是的中点．

在中，是中位线，．

而平面且平面，

∥平面；故①正确；

②如图所示，

底面，且平面，，

，是等腰直角三角形，

又是斜边的中线，()，

由底面，得，

底面是正方形，，

又，平面，

又平面，()，

由()和()知平面，而平面，．

又，且，平面；故②正确；

③如图所示，

连接AC交BD与O，连接OE，由OE是三角形PAC中位线知OE∥PA，

故∠DEO为异面直线PA和DE所成角或其补角，

由②可知DE＝，OD＝，OE＝，

∴△DEO是等边三角形，∴∠DEO＝60°，故③正确；

④如图所示，

设B到平面PAC的距离为d，

由题可知PA＝AC＝PC＝，故，

由.故④正确.

故正确的有：①②③④，正确的个数为4.

故选：D.

12．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出点坐标，求得、所在直线的斜率，由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程，设，根据双曲线的定义，从而求出的最小值；

【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率；

直线的斜率．

由已知有，

化简得点的轨迹方程为．

又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为；

故选：A

二、填空题

13．椭圆的焦距为______.

【答案】

【分析】由求出即可.

【详解】可化为，设焦距为，则，则焦距

故答案为：

14．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.

【答案】

【分析】作出该不等式表示的平面区域，由的几何意义结合距离公式得出答案.

【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示

过点作直线的垂线，垂足为

因为表示原点与可行域中点之间的距离，所以的最小值为.

故答案为：

15．如图三角形数阵：

1

3       2

4       5       6

10       9       8       7

11       12       13       14       15

……

按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.

【答案】

【分析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.

【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，

由此规律可知，到第行结束一共有个数字；

又当时，，所以第行结束一共有个数字；

当时，，所以在第行，故；

由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，

第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，

所以在倒数第列，所以，

所以.

故答案为：.

16．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______.

【答案】

【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，设直线为，、，即可得到的坐标，再联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，表示出、的坐标，根据得到方程，求出，即可得解；

【详解】解：抛物线方程为，则焦点，准线为，

设直线为，、，则，由，消去得，所以，，则，，因为，所以，所以，所以，解得，所以，即直线为，所以直线的斜率为；

故答案为：

三、解答题

17．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.

(1)求A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；

（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.

【详解】(1)因为B，A，C成等差数列，所以，所以.

(2)因为，，由余弦定理可得：；

又的面积为，所以，所以，

所以,

所以周长为.

18．已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】若为真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.

【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；

若为真命题，则对一切恒成立,

令,

则,当且仅当，即时，取得最小值；

所以，即；

又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；

当为真命题，为假命题时，，所以；

当为假命题，为真命题时，，所以；

综上所述，.

19．已知数列的前n项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；

【详解】(1)解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；

(2)解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；

20．已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)若过点的直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义可得轨迹方程；

（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值.

【详解】(1)如图所示，

由已知得点为线段中垂线上一点，

即，

即动点到点的距离与点到直线的距离相等，

所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，

所以点的轨迹方程为，

(2)如图所示：

设，点，，

联立直线与抛物线方程，得，，

，，

，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

此时，

即，

所以当直线直线，时取得最小值为.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

21．如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.

(1)证明：平面ABC；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出，，再由线面垂直的判定证明即可；

（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角.

【详解】(1)设，则

，，平面

平面，

连接，，，

，

，即

又

，平面ABC

(2)，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

设平面的法向量为，平面的法向量为

，令，则

同理可得，

又二面角为钝角，故二面角的余弦值为.

22．已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，离心率为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PA与QB的斜率分别为，，且，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.

【答案】(1)

(2)恒过点

【分析】（1）设为椭圆上的点，根据椭圆的性质得到，再根据的取值范围，得到，再根据离心率求出、，最后根据，求出，即可得解；

（2）设、，表示出、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，即可得到，再根据，即可得到，从而得到，再将、代入计算可得；

【详解】(1)解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，所以，因为，所以，又，所以、，因为，所以，所以椭圆方程为；

(2)解：设、，依题意可得、，所以、，联立得，则即，所以、，因为，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，当时直线过点，故舍去，所以，则直线恒过点；