2021-2022学年河南省南阳市高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

南阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（理）

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

2. 设m＋n>0，则关于x不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（    ）

A. {x|x<－n或x>m} B. {x|－n<x<m}

C. {x|x<－m或x>n} D. {x|－m<x<n}

3. 在中，“”是“”的（    ）．

A. 充要条件 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 已知命题：，，命题：，使得，则（    ）

A. 是假命题 B. 是真命题

C. 是真命题 D. 是真命题

5. 若，满足，且，则的最大值为（    ）

A.  B. 3 C. 5 D. 7

6. 已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若抛物线上的一点到它的焦点的距离为6，则（    ）

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

9. 如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前项和为，则（    ）

A. 3950 B. 3953 C. 3840 D. 3845

11. 设，，且恒成立，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为___________.

14. 记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则___________.

15. 若，则双曲线的离心率的取值范围是___________.

16. 如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是___________.

①平面的法向量与平面的法向量垂直；

②异面直线与所成的角的余弦值为；

③四面体有外接球且该球的半径等于棱长；

④直线与平面所成的角为.

三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知，命题，不等式恒成立；命题使得成立

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若为假，为真，求实数m的取值范围.

18. 在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．

(1)求AD长；

(2)求△CBD的面积．

19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.

（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”.

（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否为“数列”.

20. 已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.

（1）求抛物线方程；

（2）求点的纵坐标的最小值.

21. 如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点.

（1）求证：；

（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

22. 已知为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，，为椭圆上的任意一点，的最大值为，最小值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，点在上，且.试问是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

答案

1【答案】D2【答案】B3【答案】A4【答案】D5【答案】B6【答案】C

7【答案】C8【答案】A9【答案】B10【答案】D11【答案】C12【答案】A

13【答案】

14【答案】4

15【答案】

16【答案】②③④

17【答案】（1）；（2）.

18【答案】（1）；（2）

19【答案】（1）证明见解析   

（2）数列的通项公式为，数列不是“数列”

20【答案】（1）   

（2）

21【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，点为靠近点的三等分点

22【答案】（1）   

（2）存在，定值