2022-2023学年广西桂林市高二上学期期末考试数学试题含答案
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高二年级
数学
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）.
第Ⅰ卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.空间直角坐标系中两点坐标分别为，则两点间距离为（ ）
A.2 B. C. D.6
3.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.对于空间向量.若，则实数（ ）
A. B. C.1 D.2
5.两圆和的位置关系是（ ）
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
6.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”.设为优美椭圆，分别为它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端点，则等于（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知分别是双曲线的左､右焦点，则下列正确的有（ ）
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.的坐标为
D.直线与双曲线有两个公共点
10.在的展开式中，下列说法错误的是（ ）
A.常数项是20 B.第4项的二项式系数最大
C.第3项是 D.所有项的系数的和为0
11.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项.已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且.现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为，则王同学（ ）
A.第二天去甲餐厅的概率为
B.第二天去乙餐厅的概率为
C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
第Ⅱ卷非选择题
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算：__________.
14.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________.
15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，若的中点的纵坐标为5，则__________.
16.我国南北朝时期的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（10分）
已知直线与的交点为.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且平行于直线的直线方程.
18.（12分）
从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）
（1）甲､乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒.
19.（12分）
已知圆，点
（1）已知直线与圆相交于两点，求的长；
（2）判断点与圆的位置关系，并求过点且与圆相切的直线方程.
20.（12分）
2022年11月30日7时33分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入驻“天宫”.太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕､薪火相传.为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.小明､小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立.记高二1班答对题目的数量为随机变量.
（1）若，求的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求的最小值.
21.（12分）
如图，在三棱柱中，平面，为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
22.（12分）
已知椭圆，以抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，与直线相交于点，是椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），试问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.
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高二数学参考答案及评分标准
1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数，填空题不给中间分.
一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | C | B | D | B | A | B | A |
二､多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | ABD | AC | BC | AC |
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.6 14. 15. 16.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由，
解得
所以点的坐标是
（2）因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为
把点的坐标代入得得.
故所求直线的方程为
18.（本小题满分12分）
解：（1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，故有种.
（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由已知可知圆心到直线的距离
圆的半径长为2，得
（2）点在圆外；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线：，即
圆心到直线的距离为，解得
此时直线方程为：
综上可知切线的方程为或.
20.解：（1）的可能取值为
高二1班答对某道题的概率
则.
则得分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
则
（2）高二1班答对某道题的概率为，
答错某道题的概率为.
则，解得，
所以的最小值为.
21.（1）证明：因为平面平面，
所以，而，
因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，
，
因为，
所以，即，
（2）设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，
即，因为，
所以点到平面的距离为
.
22.解：（1）抛物线的焦点即为椭圆的一个顶点
即，
离心率为
，
椭圆的方程为
（2）设，则直线方程代入椭圆方程，可得
可得，
因为，代入椭圆方程可得
假设存在这样的点满足条件，设，
，
要使为定值，只需
在轴上存在一点，使得
