考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

这是一份考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版），共18页。试卷主要包含了函数周期性的判定与应用，故选D，5 B．1等内容，欢迎下载使用。

考向06 函数的奇偶性与周期性、对称性

1. （2022年北京卷第4题）己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不常数，故BD错误；
故选：C．
2. （2022年 新高考2卷第8题）若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
3．（2022年甲卷理第5题）函数在区间的图像大致为

【答案】A
【解析】设，，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A.
4．（2022年乙卷第12题）已知函数，的定义域均为,且，.
若的图像关于直线对称，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若的图像关于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，，得，所以，故，周期为.由，得，又，所以
.

1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　
3.函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　


1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．


【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.



1．函数f(x)＝x＋(x≠0)是(　　)
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
【答案】B
【解析】因为f(－x)＝－x＋＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数．
又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数．
2.已知函数f(x)＝cos＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【解析】设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
3．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
【答案】B
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
4.在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5
【答案】C
【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
5．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x2　　　 B．y＝|x－1| C．y＝|x|－1 D．y＝2x
【答案】AC
【解析】选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈［0，4］时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝　　　　.
【答案】4
【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
7.已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是　　　　.(填序号)
①f(x)的图象关于直线x＝2对称；
②f(x)的图象关于点(2，0)对称；
③f(x)的最小正周期为4；
④y＝f(x＋4)为偶函数．
【答案】①③④
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴T＝4，故③正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．



一、单选题
1．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）
A．的最大值为-a B．的最小值为-a
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
因，则是奇函数，于是得，即，
因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；
，，，
即，，因此，C不正确，D正确.
故选：D
2．（2022·广西桂林·二模（文））某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（       ）
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
【答案】A
【解析】因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，
所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又，
所以这210年有52个闰年，158个平年，
所以共有天，
因为，所以狄更斯的出生日是星期五，
故选：A.
3．（2022·云南昆明·模拟预测（理））对于函数，有下列四个论断：
①是增函数 ②是奇函数 ③有且仅有一个极值点
④的最小值为
若其中恰有两个论断正确，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，②一定错误
对函数进行求导，
当时，恒大于零，原函数单调递增，
故原函数没有极值点和最小值，故选项B、D排除.
当时，函数不是增函数，故只能有③④正确；
当时，函数，导函数，
令，，，在上单调递增，
由于，，
故，使得，即        
，，在单调递减，
，，在单调递增   
故函数有且仅有一个极值点，的最小值为
故只满足③，排除选项A
当时，，
令，，，在上单调递增，
， ，，在单调递减，
，，在单调递增   
故的最小值为
故满足③④
故选：C.
二、多选题
4．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数，，，则（       ）
A．的图象关于对称
B．的图象没有对称中心
C．对任意的，的最大值与最小值之和为
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；
因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；
因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；
由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，
故选：ACD.
5．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（       ）
A．的图象关于对称
B．
C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；
对于B选项，因为且函数为偶函数，
所以，可得，所以，，
所以，对任意的，，B对；
对于C选项，因为，
若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，，
所以，，D错.
故选：BC.
6．（2022·辽宁丹东·一模）设为函数的导函数，已知为偶函数，则（       ）
A．的最小值为2 B．为奇函数
C．在内为增函数 D．在内为增函数
【答案】BCD
【解析】，由可得，从而，
于是.
，取等号时，因为，所以.所以A错误，
由，得，
因为，所以为奇函数，所以B正确，
因为，所以在为增函数，所以C正确，
，当时，，当时，，则，综上，当时，，所以在内为增函数，所以D正确，
故选：BCD
7．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（       ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
8．（2022·全国·模拟预测）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）．当a＝1时，记，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．是周期函数
C．的导函数是奇函数
D．在上单调递减
【答案】ACD
【解析】，
对于A：，故A正确；
对于B：，不存在非零常数T，使成立，故B错误；
对于C：的定义域为R，，满足，所以是奇函数，故C正确；
对于D：当时，，所以在上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．（2022·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：
①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.
②函数的图像在处的切线斜率为0.
③函数的单调减区间是，.
④函数的图像关于点对称.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】对于①，由题意得，函数的定义域，
函数的定义域.所以是的真子集，则①正确.
对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.
对于③，的定义域是，而函数在区间，上都是单调递减且值为正，又因为函数在其定义域上单调递增，
因此复合后得到的在这两个区间上也是单调递减，则③正确.
④只需验证：当时，，则④正确.
故答案为：①③④.
10．（2022·山东潍坊·二模）已知定义在上的函数满足，且当时，图像与x轴的交点从左至右为O，，，，…，，…；图像与直线的交点从左至右为，，，…，，…．若，，，…，为线段上的10个不同的点，则______．
【答案】480
【解析】因为定义在上的函数满足，所以是在上周期为的周期函数，
且当时，，函数图象如下所示：

依题意可得、、，且的方程为，
设，，
所以，，
所以，所以
故答案为：



1．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
2．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) (　　)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．
故选：D．
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】是上的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，，
，故选C．
5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 (　　)
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且满足，
所以，即，所以，，因此是周期函数且．
又，
且，所以，
所以，故选C．
6．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．
7．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图像的对称中心为
又函数满足，所以图像的对称中心为：
所以，故选Ｂ
8．(2014高考数学课标1理科)设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 (　　)
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
【答案】 C
【解析】设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C．
考点:(1)函数奇偶性的判断(2)函数与方程的思想
难度:A
9．(2015高考数学新课标1理科)若函数为偶函数，则
【答案】1
【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1．
10．(2014高考数学课标2理科)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得