高中数学高考考点53 离散型随机变量的数字特征-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点53离散型随机变量的数字特征

【命题解读】

  离散型随机变量的数字特征是高考常考知识点之一，常常出现在客观题或主观题方面，这部分内容比较零散，知识点多，出题不好琢磨，复习中主要是夯实基础，掌握做题方法。

【命题预测】

预计2021年的高考离散型随机变量的数字特征大概率会在解答题中出题，要掌握计算公式和计算方法，注意分析问题，主要还是考查分析问题的能力。

【复习建议】 

1.理解离散型随机变量的分布列；

2.掌握离散型随机变量的数字特征的计算。

考向一　离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量的均值与方差

一般地,若离散型随机变量X的分布列为

1.均值

称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 

2.方差

称D(X)=它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差. 

1. 【2020浙江杭州市高一期末】将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（    ）

A．、 B．、 C．、 D．、

【答案】B

【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，

，，

，，

所以，，

因此，.

故选：B.

2. 【2020四川仁寿一中高三月考（理）】已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】设原来7个数分别为

由，则

由

则

所以

故选：B

考向二  均值与方差的计算

均值与方差的性质

1.E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数) 

2.D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数) 

3.若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p). 

4.若X~B(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p). 

1. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，则，则，则，

故选：D.

2. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（    ）

A．0和1 B．和 C．和 D．和

【答案】D

【解析】设随机变量的概率分布为，

则，

，

，故选D.

3. 【2020全国高三专题练习】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.

【答案】2

【解析】的可能值为，

则；；.

故分布列为：

故.

故答案为：2.

题组一（真题在线）

1. 【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

则当a在（0,1）内增大时，

A．增大         B．减小

C．先增大后减小       D．先减小后增大

2. 【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．

3. 【2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

A． B．

C． D．

4. 【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．

5. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．

题组二

1. 【2020浙江杭州市高一期末】若随机变量X的分布列是：

则当实数a在内增大时，（    ）

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

2. 【2020全国高三专题练习（理）】已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

3. 【2020浙江高三期中】袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为，则（    ）

A． B． C． D．

4. 【2020全国高二课时练习（理）】某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

A．100 B．200 C．300 D．400

5. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（    ）

A．0和1 B．和 C．和 D．和

6. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，则（    ）

A． B．8 C． D．5

 7. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量的分布列为：

若，则________．

8. 【2020全国高三专题练习】随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.

9. 【2020全国高三专题练习】某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．

（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；

（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？

10. 【2020陕西渭南市·高三月考（理）】过去五年，我园的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全园一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；

（2）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由.

题组一

1.D

【解析】方法1：由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

方法2：则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

2.

【解析】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是．

3. B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组标准差最大.

故选：B.

4.

【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，

随机变量，

，

，

所以.

故答案为：.

5. D

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．

所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，

则，且．

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由（1）知

．

题组二

1.D∵

∴

由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增.

故选：D.

2.C【解析】由题，，

，

.

故选：C

3.C【解析】有放回的抽取时，取到黑球的次数的取值可能是0,1,2,3，

由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则

,

,

,

.

故选：C.

4. B【解析】设没有发芽的种子数为，则，，所以

故选：B

5.D

【解析】设随机变量的概率分布为，

则，

，

，故选D.

6.C

【解析】因为随机变量服从二项分布，所以，所以，

故选：C.

7.

【解析】由E（ξ）＝1×0.5+2x+3y，整理得：2x+3y，

由0.5+x+y＝1，即x+y，

∴x，y，

D（ξ）＝（1）2×0.5+（2）2（3）2，

故答案为：．

8.

【解析】设时的概率为，则，解得，故

9. 见解析

【解析】（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；

（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，

，，

则，，

乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，

∵，∴，，

由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．

10. 见解析

【解析】（1）由题意知：

，，

，，

所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500.

设A表示事件“作物产量为900kg”，则；

B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则.

则：，

，

，

所以X的分布列为：

（2）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为

（元）

，

凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，

所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫.