高中数学高考考点54 二项分布与超几何分布、正态分布-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

考点54二项分布与超几何分布、正态分布

【命题解读】

  二项分布与超几何分布、正态分布是高考出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些。

【命题预测】

预计2021年的高考对于二项分布与超几何分布、正态分布的出题比较灵活，难于掌握出题方向，重点还是要掌握基础知识。

【复习建议】 

1.掌握二项分布和超几何分布；

2.了解正态分布的含义及其均值、方差。

考向一　二项分布与超几何分布

1. 二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)

2. 超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即

其中m= min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

1. 【2020江苏苏州市高二期中】某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】记投篮命中的次数为随机变量，

由题意，，

则投篮命中次的概率为，

由得，即，即，

解得，又，

因此时，取最大值.

即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.

故选：D.

2. 【2019黄梅国际育才高级中学高二期中（理）】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，

则至少取到1件次品的概率为，

故选：D

考向二  正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)=，x∈(-∞，+∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称函数φμ，σ(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交; 

②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称; 

③曲线在x=μ处达到峰值; 

④曲线与x轴之间的面积为1; 

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图10-58-1①所示; 

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中;σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(如图10-58-1②所示) 

①

②

图10-58-1

(3)正态分布的定义及表示

一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=则称随机变量X服从正态分布，记作X~N(μ，σ2). 

正态分布的三个常用数据：

①     P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7; 

②     P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5; 

③     P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3. 

1. 【2020全国高三专题练习】重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（    ）

附：若，则；.

A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545

【答案】C

【解析】由题得，，

所以，，

所以，所以，

所以果实横径在的概率为.

故选：C.

2. 【2018广东高二期末（理）】已知随机变量服从正态分布，若，则的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】随机变量服从正态分布，

曲线关于对称，

，

，

，

故选：.

题组一（真题模拟在线）

1. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．

2. 【2020浙江宁波市高二期末】从一副不含大小王的52张扑克牌（即不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（    ）

A． B． C． D．

3. 【2020江苏省海头高级中学高二月考】若随机变量，则等于（    ）

A． B． C． D．

4. 【2020湖北随州市高二期末】某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于或等于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（    ）

A．100 B．200 C．300 D．400

5. 【2020山西省夏县第二中学高二期末】已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X>4)＝（    ）

A．0.158 8 B．0.158 65 C．0.158 6 D．0.158 5

6. 【2020全国高三月考（理）】山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：

（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；

（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量的平均值；

（3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为，求的分布列以及数学期望．

7. 【2020湖南高三开学考试】 “全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高､综合性最强､影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次).通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：

（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的均值.求得分在区间的概率；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)

（2）在（1）的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：

现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.

附：参考数据：①；②；③若，则，.

8. 【2020全国高三其他模拟】为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．

（1）若该类工程的工期服从正态分布，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．

（ⅰ）求和的值；

（ⅱ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．

（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为，求的分布列和数字期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

题组一

1.见解析

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．

所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，

则，且．

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由（1）知

．

2.C

【解析】设为抽出的5张牌中含的张数，可知服从超几何分布，其中，

则.

故选：C.

3. A

【解析】由二项分布的概率公式得.

故选：A

4. D

【解析】由正态分布的特点知，正态密度曲线对称轴为，所以，

因为，所以，

由对称性知：，

所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为，

故选：D

5. B

【解析】随机变量X服从正态分布N(3，1)，其图象的对称轴为X = 3.

所以

所以

故选：B

6.  见解析

【解析】（1）依题意，转化频率分布表如下所示：

完善频率分布直方图如图所示：

（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为；

故采购量在286箱以下（含286）的人数为；

所求平均值为；

（3）依题意，，则，

，，

，，

故的分布列为：

故．

7. 见解析

【解析】（1）根据表格中的数据，可得：

，

，

所以.

（2）由题意，可得，则获赠话费的可能取值为30，50，60，80，100，

，，，

，，

则的分布列为：

故期望值(元).

8. 见解析

【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为，

样本的标准差为．

因此，．

（ⅱ）22天之内完成该工程的概率

所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．

（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，

，

，

，

，

，

，

．

所以的分布列是

的数学期望是

．