高中数学高考课后限时集训49 两条直线的位置关系 作业

两条直线的位置关系

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一、选择题

1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　 B．垂直

C．相交但不垂直   D．不能确定

C　[∵≠，∴两条直线相交，又2×1＋1×2≠0，故两条直线不垂直．]

2．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为(　　)

A．2x－3y－1＝0   B．2x＋3y－7＝0

C．3x－2y－4＝0   D．3x＋2y－8＝0

B　[设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.所以所求的直线方程为2x＋3y－7＝0.故选B.]

3．已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m等于(　　)

A．－1或3   B．－1

C．－3   D．1或－3

A　[由题意知＝≠，解得m＝3或m＝－1.故选A.]

4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(1,2)   B．(2,1)

C．(1,2)或(2，－1)   D．(2,1)或(－1,2)

C　[设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．]

5．若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝(　　)

A.   B．－1

C．－   D．1

B　[直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线方程为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.

因为mx－y＋b＝0，即x－＋＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，

所以有解得

则m＋b＝－＋＝－1.]

二、填空题

6．两平行直线2x＋y＝0与4x＋2y－1＝0之间的距离为        ．

　[由2x＋y＝0得4x＋2y＝0，则两平行直线之间的距离为d＝＝.]

7．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是        ．

y＝2x－3　[在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.]

8．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是        ．

x＋2y－4＝0　[法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.

法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－，故所求直线的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0.]

三、解答题

9．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求：

(1)点A和点C的坐标；

(2)△ABC的面积．

[解]　(1)由方程组

解得点A(－1,0)．

又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，

故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．

已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，

故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．

解方程组得点C的坐标为(5，－6)．

(2)因为B(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝＝4，点A(－1,0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝＝，所以△ABC的面积为×4×＝12.

10．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，

(1)当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；

(2)当l1，l2间的距离为1时，求l2的方程．

[解]　(1)当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

(2)当l1⊥x轴时，l1方程为x＝1，l2方程为x＝0，l1与l2间距离为1，满足题意．

当l1不垂直于x轴时，设l1斜率为k，则l1，l2方程分别为y－1＝k(x－1)，y＋1＝kx，所以l1与l2间距离为d＝＝1，解得k＝.所以l2方程为y＝x－1，综上所述，l2方程为x＝0或3x－4y－4＝0.

1．(2019·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)

A．2　　　B.　　　C．2　　　D.

A　[如图所示，设点C(x，y)为点B关于直线x＋y－4＝0的对称点，则有

解得即C(4,2)．

∴|PA|＋|PB|≥|AC|＝＝2，故选A.]

2．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(　　)

A．6       B．3    C.     D.

C　[结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离

即为l1与l3之间的距离，由题意知，l1与l2关于x轴对称，

故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3，即2x－y＋3＝0，又直线l1的方程为：2x－y－3＝0，

由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离

d＝＝＝，即点P到直线l3的距离为，故选C.]

3．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为        ．

2x－y＋3＝0　[点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．

设A1(x1，y1)，则有

解得所以A1(0,3)．

同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．

所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.]

4．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

[解]　设点P的坐标为(a，b)．

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点坐标为(3，－2)．

又kAB＝＝－1，

∴线段AB的垂直平分线的斜率为1，

∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

∴a－b－5＝0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴＝2，

即4a＋3b－2＝±10，②

联立①②求得或

∴点P的坐标为(1，－4)或.

1．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．3   B．6

C．2   D．2

C　[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]

2．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,4)对称，求直线l的方程．

[解]　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1的方程为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,4)的对称点为，∴8－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋9＝0.