高中数学高考课后限时集训50 两条直线的位置关系 作业

　　　　　　　两条直线的位置关系

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一、选择题

1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　 B．垂直

C．相交但不垂直   D．不能确定

C　[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]

2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10   B．－2

C．0   D．8

A　[因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，解得n＝－2，

所以m＋n＝－10.]

3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是(　　)

A．x－2y＋9＝0   B．4x－2y＋9＝0

C．2x－y－18＝0   D．x＋2y＋18＝0

C　[由解得所以直线l1，l2的交点坐标是(14，10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14，10)，所以c＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.]

4．(2019·安阳模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)

A．7    B.

C．14   D．17

B　[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.]

5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)

A.   B.

C．2   D．2

A　[联立解得

把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.

∴m＝－5－2n.

∴点(m，n)到原点的距离

d＝＝＝≥，

当n＝－2，m＝－1时取等号．

∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.]

二、填空题

6．(2019·黄冈模拟)已知直线l1：mx＋3y＋3＝0，l2：x＋(m－2)y＋1＝0，则“m＝3”是“l1∥l2”的________条件．

既不充分也不必要　[若l1∥l2，则

∴m＝－1.

∴“m＝3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件．]

7．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．

x－y＋1＝0　[因为kPQ＝＝－1，故直线l的斜率为1，又线段PQ的中点为(2，3)，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.]

8．已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．

x＋2y－3＝0　[当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.]

三、解答题

9．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

[解]　依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.

10．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：

(1)入射光线所在直线的方程；

(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．

[解]　(1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，

∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.

由 解得

∴交点M，∴

解得 ∴Q′(－2，－2)．

设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，

又P(2，3)，Q′(－2，－2)，

∴入射光线所在直线的方程为

＝，即5x－4y＋2＝0.

(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|

＝＝，

即这条光线从P到Q所经路线的长度为.

1.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．3   B．6

C．2   D．2

C　[直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]

2．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝(　　)

A.   B.

C．5   D．10

D　[由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，

∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.]

3．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__________．

4　[由y＝x＋(x>0)，得y′＝1－，

设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋(x>0)切于(x0，x0＋)(x0＞0)，由1－ ＝－1，解得x0＝(x0>0)．

∴曲线y＝x＋(x>0)上，点P(，3)到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.]

4．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：

(1)点A和点C的坐标；

(2)△ABC的面积．

[解]　(1)由方程组

解得点A(－1，0)．

又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，

故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．

已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，

故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．

解方程组得点C的坐标为(5，－6)．

(2)因为B(1，2)，C(5，－6)，所以|BC|＝＝4，点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝＝，所以△ABC的面积为×4×＝12.

1．一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)

A.   B．2

C．3   D．4

B　[点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为＝2.]

2. (2019·临沂模拟)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)

A．(－4，0)    B．(0，－4)

C．(4，0)    D．(4，0)或(－4，0)

A　[设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为(，)，代入欧拉线方程得－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0，①

易得AB边的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.由解得∴△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8.②

联立①②解得m＝4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，∴顶点C的坐标是(－4，0)．故选A.]