高中数学高考课后限时集训52 直线与圆、圆与圆的位置关系 作业

直线与圆、圆与圆的位置关系

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一、选择题

1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)

A．相离　 B．相切

C．相交   D．以上都有可能

C　[直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，

∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，

∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，

直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．]

2．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)

A．±1   B．±

C．±   D．±2

A　[由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，

因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，

所以有＝，解得k＝±1.故选A.]

3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A．2x＋y－5＝0   B．2x＋y－7＝0

C．x－2y－5＝0   D．x－2y－7＝0

B　[∵过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上．

∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，

∴切线的斜率为－2，

则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]

4．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)

A．1条   B．2条

C．3条   D．4条

D　[根据题意，圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为2.

圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)半径为1.

则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]

5．(2019·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A．y＝－   B．y＝－

C．y＝－   D．y＝－

B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，

将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.]

二、填空题

6．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切与点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________．

－2　　[如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2.∴圆心为(0，－2)，则半径r＝＝.

]

7．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

2　[直线kx－y－k＋2＝0可化为y－2＝k(x－1)，故直线l过定点E(1，2)，又E(1，2)在圆x2＋y2－2y－7＝0内，所以，当E是AB中点时，|AB|最小，由x2＋y2－2y－7＝0得x2＋(y－1)2＝8，即圆心C(0，1)，半径2，所以|AB|＝2＝2＝2.]

8．(2019·昆明模拟)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为________．

±　[根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r＝，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝，则有＝，解得a＝±.]

三、解答题

9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

[解]　(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则＝.

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C点坐标为(1，－2)，

半径r＝|AC|＝＝.

故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，

由题意得＝1，解得k＝－，

则直线l的方程为y＝－x.

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．

(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

[解]　(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.

设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.

又|O1O2|＝＝2，

所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.

所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.

(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，

又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，

相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.

设线段AB的中点为H，

因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.

又|O1H|＝＝，

所以＝，解得r＝4或r＝20.

所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

1．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　)

A．(＋1，＋∞)   B．(－1，＋1)

C．(0，－1)    D．(0，＋1)

A　[计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.]

2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．－或－   B．－或－

C．－或－   D．－或－

D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.作出点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3)．设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故选D.]

3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．

4　[由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到

直线l的距离为

d＝.

由|AB|＝2得＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]

4．(2019·大同模拟)已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C在直线x＋y－1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

[解]　(1)∵P(4，－2)，Q(－1，3)，

∴线段PQ的中点M，斜率kPQ＝－1，

则PQ的垂直平分线方程为y－＝1×(x－)，

即x－y－1＝0.

解方程组 得

∴圆心C(1，0)，半径r＝＝.

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.

(2)由l∥PQ，设l的方程为y＝－x＋m.

代入圆C的方程，得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝m＋1，x1x2＝－6.

故y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2＋x1x2－m(x1＋x2)，

依题意知OA⊥OB，则·＝0.

∴(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝0，

于是m2＋2x1x2－m(x1＋x2)＝0，即m2－m－12＝0.

∴m＝4或m＝－3，经检验，满足Δ>0.

故直线l的方程为y＝－x＋4或y＝－x－3.

1．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是(　　)

A．   B．[0，1]

C．   D．

A　[因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，因为MA＝

2MO，所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3.

由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.]

2．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是________．

[，2)　[由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，又k＞0，故0＜k＜2.　①

如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，

由|＋|≥||得||≥||，

即∠MBO≥，因为|OB|＝2，所以|OM|≥1，故≥1，

k≥ .　②

综合①②得，≤k＜2.]