高中数学高考课后限时集训53 椭圆及其性质 作业

这是一份高中数学高考课后限时集训53 椭圆及其性质 作业，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
　　　　　　　椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b   D．3a＝4bB　[由题意，＝，得＝，则＝，∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2.故选B.]2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)A．   B．(1，＋∞)C．(1，2)   D．C　[由题意得解得1＜k＜2.故选C.]3．椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1D　[由题意可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选D.]4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)A.－     B.－1C.   D.B　[设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设＝2c，则＝c，＝c.由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝c＋c，所以e＝＝＝－1，故选B.]5．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)A．2   B．6C．4   D．12C　[由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.]二、填空题6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．(－5，0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5，0)．]7．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，)　[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得又因为点M在第一象限，所以M的坐标为(3，)．]8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．　[满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜.]三、解答题9．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．[解]　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为＋＝1.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解]　(1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．1．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)A．4   B．8C．12     D．16B　[设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.]2.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是(　　)A．①③   B．①④C．②③   D．②④D　[观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．故选D.]3．(2019·三明模拟)已知△ABC的顶点A(－3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________．3　[由椭圆方程＋＝1，得长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，由正弦正理可得，＝＝＝3.]4．(2109·山西太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．[解]　(1)由题意得∴∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，F2(1，0)，设直线MN的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴my1y2＝(y1＋y2)，∵直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝(x－2)，∴(x＋2)＝(x－2)，∴＝＝＝3，∴x＝4，∴直线AM与BN的交点在直线x＝4上．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)A.＋y2＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B(，)．由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.]2.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于________．　[如图，圆锥面与其内切球O1，O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A则O1B⊥AB，O2A⊥AB.过O1作O1D⊥O2A垂直于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C.设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β.则在Rt△O1O2D中，DO2＝3－1＝2，O1D＝＝2∴cos α＝＝＝.∵O1O2＝8，∴CO2＝8－O1C.∵△EO2C～△FO1C，∴＝，解得O1C＝2.∴CF＝＝＝，即cos β＝＝.则椭圆的离心率e＝＝＝.]