高中数学高考课后限时集训56 抛物线 作业

　　　　　抛物线

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一、选择题

1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)

A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y

C．x2＝－y   D．x2＝12y或x2＝－36y

D　[将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.

∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]

2．(2019·菏泽模拟)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

A　[∵x2＝2y，∴y＝，∴y′＝x，

∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B，

∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为，

∴直线l的方程为y＝，∴|AF|＝|BF|＝1.]

3．(2019·桂林模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)

A．相离   B．相切

C．相交但不经过圆心   D．相交且经过圆心

B　[设圆心为M，过点A、B、M作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1、M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．]

4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)

A.  B.  C.  D．2

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，y1＝2.

设AB的方程为x－1＝ty，

由消去x得y2－4ty－4＝0.

所以y1y2＝－4.所以y2＝－，x2＝，

所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.]

5．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　)

A．3  B．4  C．5  D.＋1

A　[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.

]

二、填空题

6．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．

(x－1)2＋y2＝4　[如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)．

∵所求圆的圆心F，且与准线x＝－1相切，

∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]

7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________．

　[由题意可知F(1，0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2.

则直线AB的方程为y＝2(x－1)，

与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，

所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.]

8．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

x2＝4y　[△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，

所以

解得因此抛物线方程为x2＝4y.]

三、解答题

9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

[解]　(1)由题意得直线AB的方程为y＝2·，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，

则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4，4)．设C(x3，y3)，

则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)

＝(4λ＋1，4λ－2)．

又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

10．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

[解]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，－2)．

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，

所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，

可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和为

kBM＋kBN＝＋＝.①

将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得

x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.

所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.

综上，∠ABM＝∠ABN.

1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)

A．5  B．6  C．7  D．8

D　[过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.]

2．已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(　　)

A．16  B．4  C.  D.

A　[因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝，所以＝.

由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD.

由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故选A.]

3．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________．

1　[过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E(图略)，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.

∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，

∵直线AB的倾斜角为60°，

∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，

即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.

∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.

设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，

得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.]

4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由 y＝，得y′＝.

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.

由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.

1．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

C　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.]

2.如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：

①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；

②|AB|min＝2；

③yM＝－1；

④若AB的斜率为1，则xM＝1；

⑤xA·xB＝－4.

以上结论正确的所有序号是(　　)

A．①②④   B．③④⑤   C．①②⑤　  D．③⑤

D　[由题意得，焦点F(0，1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，

得消去x，得y2－6y＋1＝0，

所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；

对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；

因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，

即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，

即y＝xBx－，

联立lAM与lBM的方程得

解得M.

设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，

得

消去y，得x2－4kx－4＝0，

所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，

所以yM＝－1，③和⑤均正确；

对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选D.]