高中数学高考课后限时集训68 参数方程 作业

参数方程

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1．若直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.

[解]　直线(t为参数)的普通方程为y＝xtan α.

圆(θ为参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4.

由于直线与圆相切，则＝2，

即tan2α＝，解得tan α＝±，

由于α∈[0，π)，故α＝或.

2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

[解]　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.

因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离

d＝＝，

当s＝时，dmin＝.

因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．

[解]　(1)将t＝2y代入x＝3＋t，

整理得x－y－3＝0，

所以直线l的普通方程为x－y－3＝0.

由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入ρ2＝4ρcos θ，

得x2＋y2－4x＝0，

即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)设A，B的参数分别为t1，t2.

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2＋2＝4，

化简得t2＋t－3＝0，

由韦达定理得t1＋t2＝－，

于是tp＝＝－.

设P(x0，y0)，则

则P.

所以点P到原点O的距离为＝.

4．(2019·洛阳模拟)已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝2sin θ上任一点，点P满足＝3.设点P的轨迹为曲线Q.

(1)求曲线Q的平面直角坐标方程；

(2)已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线l：(t为参数)相交于A，B两点，求|OA|＋|OB|值．

[解]　(1)设P(ρ，θ)，∵＝3，点M的极坐标为.

把点M代入曲线C，得＝2sin θ，

即曲线Q的极坐标方程为：ρ＝6sin θ.

∵ρ2＝6ρsin θ，∴x2＋y2＝6y，∴x2＋(y－3)2＝9，

∴曲线Q的平面直角坐标系下的方程为x2＋(y－3)2＝9.

(2)曲线Q向上平移1个单位后曲线N的方程为x2＋(y－4)2＝9.

l的参数方程化为：

两方程联立得t2－4t＋7＝0，∴t1＋t2＝4，t1·t2＝7，

∴|OA|＋|OB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝4.