高中数学高考预测03 导数及其应用（原卷版）

预测03  导数及其应用

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

1、基本初等函数的导数公式

(1)(xα)＝αxα－1 (α为常数)；

(2)(ax)′＝axln_a(a>0且a≠1)；

(3)(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)；

(4)(ex)′＝ex；

(5)(ln x)′＝；

(6)(sin x)′＝cos_x；

(7)(cos x)′＝－sin_x.

2、导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝  (g(x)≠0).

3、复合函数的导数

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

（1）函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

（2）函数的极值

判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.

求可导函数的极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

（3）函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在区间(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

（4）方法技巧

1、利用导数的符号来判断函数的单调性；

2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；

3、f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.

(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.

(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.

逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．

(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立．

(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．

2、一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．

1、分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．

提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．

[判断、证明或讨论函数零点个数的方法]　利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.

2 、数学模型及数学建模

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．

数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．

3、 常见的函数模型①一次函数；②二次函数；③指(对)数函数、幂函数．

三种增长型函数模型的性质

4、 解函数应用题的步骤

第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．

第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．

第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．

1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

2、【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为

A．y=2x+1  B．y=2x+ 

C．y=x+1  D．y=x+

3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

4、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A．  B．

C．  D．

5、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．

7、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是  ▲   .

8、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

9、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

10、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明： ；

（3）设，证明：．

11、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求B．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

12、【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．

13、【2020年高考北京】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

14、【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

15、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

16、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

一、单选题

1、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是(    )

A．2 B． C．4 D．

4、（2020·江苏省丰县中学高三月考）若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（    ）

A． B． 

C． D．

5、（2021·常州·一模）4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y＝x，则函数的增区间为

   A．(0，1)          B．(0，)       C．(，)     D．(，1)

6、（2020·博兴县第三中学高三月考）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7、（2021·潍坊市潍城区教育局月考）已知函数，若且，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

二、多选题

8、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（    ）

A．2 B． C．0 D．1

9、（2020·山东省实验中学高三月考）设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（    ）

A．0 B． C． D．1

10、（2020·鱼台县第一中学高三月考）对于函数，下列正确的是（    ）

A．是函数的一个极值点

B．的单调增区间是，

C．在区间上单调递减

D．直线与函数的图象有3个交点

11、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为（    ）

A．1 B．e C．2e D．3e

12、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

13、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

14、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则.

15、（2021·山东菏泽市·高三期末）设函数，且、、，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．存在，使得

C．若，则

D．对任意，总有，使得

三、填空题

16、（2020·全国高三专题练习（文））设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为__________．

17、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线在点处的切线的方程为__________．

18、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________.

19、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）若函数在区间内不单调，则k的取值范围是__________．

20、（2021·山东德州市·高三期末）已知直线是曲线的一条切线，则_________．

21、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知是正整数，有零点，则的最小值为__________.

22、（2021·山东泰安市·高三期末）已知函数的定义域为，且．若对任意，，则的解集为______．

23、（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．

24、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数（，）在区间上存在极大值，则实数的取值范围是______．

四、解答题

25、（2021·河北张家口市·高三期末）已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

26、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数，函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

（3）证明：当时，.

27、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

28、（2021·山东威海市·高三期末）已知函数.

（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程;

（2）若，求实数的取值范围.

29、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数．

(1)当时，设函数的最小值为，证明：；

(2)若函数有两个极值点，证明：．

30、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数，.

（1）若，，求函数的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与直线平行.

①求，的值；

②求实数的取值范围，使得对恒成立.