高中数学高考预测09 圆锥曲线中的基本量及性质的考查（原卷版）

预测09  圆锥曲线中的基本量及性质的考查

考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程·

一、椭圆的标准方程和几何性质

焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径

① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）

② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为

焦点三角形面积：（其中）

一、 双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.

(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；

(3)当a＞c时，点P不存在．

二 、双曲线的标准方程和几何性质

常用结论

1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．

2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

三、抛物线的标准方程与几何性质

焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则

焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）

1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=

A．2  B．3 

C．6  D．9

2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为

A．   B．  

C．   D．

3、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=

A． 1  B． 2 

C． 4  D． 8

4、【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为

A．     B．    C．     D．

5、【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为

A． 4  B． 5 

C． 6  D． 7

6、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2            B．3           

C．4              D．8

7、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为

A．  B．

8、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2  B．3a2=4b2

C．a=2b  D．3a=4b

9、【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为

A．  B．

C．  D．

10、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A． B．1                            

C． D．2

11、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为

A．  B．

C．  D．

12、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线.

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

13、【2020年高考全国I卷理数】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为              .

14、【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

15、【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

16、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是   ▲    ．

17、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.

18、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且．

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．

19、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

20、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

一、单选题

1、（2021·湖北高三期末）抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4、（2021·山东泰安市·高三期末）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（    ）

A．10 B．9 C．8 D．5

5、（2021·全国高三专题练习（理））设分别是双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

8、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )

A．离心率为 B．双曲线过点

C．渐近线方程为 D．实轴长为4

9、（2021·湖北高三期末）关于双曲线，下列说法正确的是（    ）

A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线

B．过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条

C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率

D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点

10、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（    ）

A．，两点的纵坐标之积为

B．点在定直线上

C．点与抛物线上各点的连线中，最短

D．无论旋转到什么位置，始终有

11、（2021·江苏常州市·高三期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．△的面积为

三、填空题

12、（2021·河北张家口市·高三期末）双曲线的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.

13、（2020·辽宁抚顺市·高三期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为________.

14、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心，半径为的圆与交于点，过点作圆的切线，切点为，若，且的面积为，则______．

四、解答题

15、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，，设的内切圆分别与边相切于点，已知，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过的直线与轴正半轴交于点，与曲线E交于点轴，过的另一直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.

16、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.